Calcule o volume do sólido
definido como abaixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o volume de um sólido
definido por duas condições. Primeiro, temos a equação de uma esfera:
Essa é uma esfera com centro no ponto
e raio 1. A segunda condição é:
Essa segunda condição define uma região acima de um cone circular reto. Então, para achar o volume de
, precisamos encontrar a parte da esfera que está acima desse cone.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde a esfera e o cone se intersectam. Para isso, igualamos as duas expressões para
:
Substituindo
na equação da esfera:
Simplificando:
Dividindo tudo por 2:
Completando o quadrado para
:
Isso mostra que a interseção é um círculo com centro em
e raio
.
Passo 3
Agora, para facilitar os cálculos, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
A equação da esfera fica:
E a equação do cone fica:
Nosso objetivo é integrar sobre a região onde essas duas condições são satisfeitas.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. A interseção ocorre quando
. Substituindo na equação da esfera:
Resolvendo para
, encontramos que o raio máximo de integração é
.
Passo 5
Agora, configuramos a integral para o volume. Em coordenadas cilíndricas, o volume
é dado por:
Simplificando e resolvendo essa integral, obtemos o volume desejado.
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Se
, prove que
Esboce o gráfico e classifique em crescente e decrescente cada função abaixo:
Determine
em cada equação:
Tomando-se as medidas das dimensões de uma caixa retangular, obtém-se os valores
, e 40 cm , com precisão
em cada medida. Qual é o erro máximo estimado para o volume no caso de as medidas das dimensões terem precisão
?