Se lim (x, y) (a, b) f(x, y)=0 e|g(x, y)| <= M in R, prove que
lim (x, y) (a, b) f(x, y) cdot g(x, y)=0

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem duas funções de duas variáveis, lim (x, y) (a, b) f(x, y) cdot g(x, y)=0 e . Sabemos que quando se aproxima de , o limite de é zero, ou seja, . Além disso, a função está limitada em valor absoluto por um número real , ou seja, . Queremos provar que o limite do produto dessas duas funções também é zero:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o valor absoluto do produto |f(x, y) cdot g(x, y)| = |f(x, y)| cdot |g(x, y)| . Sabemos que:
|f(x, y) cdot g(x, y)| <= |f(x, y)| cdot M
Como , podemos substituir:

Passo 3

Agora, sabemos que . Isso significa que, para qualquer número pequeno positivo , existe uma vizinhança ao redor de onde .

Passo 4

Aplicando isso na desigualdade que temos:
|f(x, y) cdot g(x, y)| <= |f(x, y)| cdot M < epsilonM cdot M = epsilon
Então, quando está suficientemente próximo de .

Resposta

Portanto, provamos que .

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