Se lim (x, y) (a, b) f(x, y)=0 e|g(x, y)| <= M in R, prove que
lim (x, y) (a, b) f(x, y) cdot g(x, y)=0

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem duas funções de duas variáveis, lim (x, y) (a, b) f(x, y) cdot g(x, y)=0 e . Sabemos que quando se aproxima de , o limite de é zero, ou seja, . Além disso, a função está limitada em valor absoluto por um número real , ou seja, . Queremos provar que o limite do produto dessas duas funções também é zero:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o valor absoluto do produto |f(x, y) cdot g(x, y)| = |f(x, y)| cdot |g(x, y)| . Sabemos que:
|f(x, y) cdot g(x, y)| <= |f(x, y)| cdot M
Como , podemos substituir:

Passo 3

Agora, sabemos que . Isso significa que, para qualquer número pequeno positivo , existe uma vizinhança ao redor de onde .

Passo 4

Aplicando isso na desigualdade que temos:
|f(x, y) cdot g(x, y)| <= |f(x, y)| cdot M < epsilonM cdot M = epsilon
Então, quando está suficientemente próximo de .

Resposta

Portanto, provamos que .

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico e classifique em crescente e decrescente cada função abaixo:
f(x) = (raiz(2) / 3)^x
Calcule o volume do sólido W definido como abaixo W = {(x, y, z) em R^3 ; x^2 + y^2 + z^2 <= 9, 1 <= z <= 2}
Calcule o volume do sólido W definido como abaixo
W = {(x, y, z) ∈ R³ ; x² + (y - 1)² + z² ≤ 1, z ≥ raiz(x² + y²)}
Determine x em cada equação:
log_x(3*x) = 2