Se
, prove que
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem duas funções de duas variáveis,
e
. Sabemos que quando
se aproxima de
, o limite de
é zero, ou seja,
. Além disso, a função
está limitada em valor absoluto por um número real
, ou seja,
. Queremos provar que o limite do produto dessas duas funções também é zero:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o valor absoluto do produto
. Sabemos que:
Como
, podemos substituir:
Passo 3
Agora, sabemos que
. Isso significa que, para qualquer número pequeno positivo
, existe uma vizinhança ao redor de
onde
.
Passo 4
Aplicando isso na desigualdade que temos:
Então,
quando
está suficientemente próximo de
.
Resposta
Portanto, provamos que
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico e classifique em crescente e decrescente cada função abaixo:
Calcule o volume do sólido
definido como abaixo
Calcule o volume do sólido
definido como abaixo
Determine
em cada equação: