No estudo da penetração da geada em uma rodovia, a temperatura
no instante
de horas e à profundidade
pode ser dada aproximadamente por
, em que
são constantes. O período de
representa 24 horas. Calcule e interprete
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que descreve a temperatura
em função do tempo
(em horas) e da profundidade
na estrada. O enunciado é sobre como a temperatura varia com o tempo e a profundidade, especialmente pensando na geada que penetra na rodovia. Vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar como a temperatura muda em relação ao tempo e à profundidade. Então, vamos calcular
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dada:
Aqui,
,
e
são constantes. O termo
mostra como a temperatura diminui à medida que a profundidade
aumenta. O argumento do seno,
, indica que a temperatura varia sinusoidalmente no tempo com um período de 24 horas.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação ao tempo
, ou seja,
.
Para isso, tratamos
como constante e diferenciamos em relação a
:
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
, onde
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação à profundidade
, ou seja,
.
Diferenciando
em relação a
:
Simplificando:
Podemos fatorar
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Interpretação:
-
representa a taxa de variação da temperatura ao longo do tempo para uma profundidade fixa. Um valor positivo indica que a temperatura está aumentando nesse instante. -
representa a taxa de variação da temperatura ao longo da profundidade para um instante fixo. Um valor negativo indica que a temperatura diminui à medida que a profundidade aumenta, o que faz sentido já que a temperatura geralmente diminui mais profundamente na estrada durante a geada.
Exercícios relacionados
Dos seguintes subconjuntos de
diga quais são fechados, abertos, limitados; em seguida calcule suas fronteiras.
a) ;
a)
Encontre equações paramétricas da reta tangente a
em
, nos seguintes casos:
(d)
(d)
Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
d) quadrado em de lados paralelos aos eixos e vértices em
e
, sentido anti-horário.
d) quadrado em
Calcule o volume do sólido delimitado por
e
.