No estudo da penetração da geada em uma rodovia, a temperatura no instante de horas e à profundidade pode ser dada aproximadamente por , em que são constantes. O período de representa 24 horas. Calcule e interprete e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que descreve a temperatura em função do tempo (em horas) e da profundidade na estrada. O enunciado é sobre como a temperatura varia com o tempo e a profundidade, especialmente pensando na geada que penetra na rodovia. Vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar como a temperatura muda em relação ao tempo e à profundidade. Então, vamos calcular e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
Aqui, , e são constantes. O termo mostra como a temperatura diminui à medida que a profundidade aumenta. O argumento do seno, , indica que a temperatura varia sinusoidalmente no tempo com um período de 24 horas.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação ao tempo , ou seja, .
Para isso, tratamos como constante e diferenciamos em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de é , onde .

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação à profundidade , ou seja, .
Diferenciando em relação a :
Simplificando:
Podemos fatorar :

Resposta

As derivadas parciais são:
Interpretação:
  • representa a taxa de variação da temperatura ao longo do tempo para uma profundidade fixa. Um valor positivo indica que a temperatura está aumentando nesse instante.
  • representa a taxa de variação da temperatura ao longo da profundidade para um instante fixo. Um valor negativo indica que a temperatura diminui à medida que a profundidade aumenta, o que faz sentido já que a temperatura geralmente diminui mais profundamente na estrada durante a geada.

Exercícios relacionados

Dos seguintes subconjuntos de diga quais são fechados, abertos, limitados; em seguida calcule suas fronteiras.
a) ;
Encontre equações paramétricas da reta tangente a em , nos seguintes casos:
(d)
Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
d) quadrado em de lados paralelos aos eixos e vértices em e , sentido anti-horário.
Calcule o volume do sólido delimitado por e .