No estudo da penetração da geada em uma rodovia, a temperatura T no instante t de horas e à profundidade x pode ser dada aproximadamente por T=T0 e^-lambda x sen(omega t-lambda x), em que T0, omega, lambda são constantes. O período de sen(omega t-lambda x) representa 24 horas. Calcule e interprete partial Tpartial t e partial Tpartial x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que descreve a temperatura em função do tempo (em horas) e da profundidade na estrada. O enunciado é sobre como a temperatura varia com o tempo e a profundidade, especialmente pensando na geada que penetra na rodovia. Vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar como a temperatura muda em relação ao tempo e à profundidade. Então, vamos calcular e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
T = T0 e^-lambda x cdot sin(omega t - lambda x)
Aqui, , e são constantes. O termo mostra como a temperatura diminui à medida que a profundidade aumenta. O argumento do seno, , indica que a temperatura varia sinusoidalmente no tempo com um período de 24 horas.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada parcial de partial Tpartial t = T0 e^-lambda x cdot cos(omega t - lambda x) cdot omega em relação ao tempo , ou seja, .
Para isso, tratamos como constante e diferenciamos em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de é , onde .

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial Tpartial x = T0 ( -lambda e^-lambda x sin(omega t - lambda x) + e^-lambda x cos(omega t - lambda x) cdot (-lambda) ) em relação à profundidade partial Tpartial x = -lambda T0 e^-lambda x sin(omega t - lambda x) - lambda T0 e^-lambda x cos(omega t - lambda x) , ou seja, partial Tpartial x = -lambda T0 e^-lambda x ( sin(omega t - lambda x) + cos(omega t - lambda x) ) .
Diferenciando em relação a :
Simplificando:
Podemos fatorar :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial Tpartial t = omega T0 e^-lambda x cos(omega t - lambda x)
partial Tpartial x = -lambda T0 e^-lambda x ( sin(omega t - lambda x) + cos(omega t - lambda x) )
Interpretação:
  • representa a taxa de variação da temperatura ao longo do tempo para uma profundidade fixa. Um valor positivo indica que a temperatura está aumentando nesse instante.
  • representa a taxa de variação da temperatura ao longo da profundidade para um instante fixo. Um valor negativo indica que a temperatura diminui à medida que a profundidade aumenta, o que faz sentido já que a temperatura geralmente diminui mais profundamente na estrada durante a geada.

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