Calcule o volume do sólido delimitado por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies
e
. A gente vai precisar usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, pra encontrar esse volume. Primeiro, vamos descobrir onde essas duas superfícies se encontram pra saber os limites da nossa integração.
Passo 2
Para achar a interseção das superfícies, igualamos as duas equações de
:
Simplificando isso, a gente tem:
Passo 3
Vamos isolar
:
Para que
seja real, o lado direito deve ser positivo:
Vamos resolver essa desigualdade pra achar os valores de
que nos interessam.
Passo 4
Resolvendo
:
Primeiro, encontramos as raízes da equação . Por tentativa e erro ou usando métodos numéricos, encontramos que
é uma raiz. Então, podemos fatorar:
Primeiro, encontramos as raízes da equação
As outras raízes são complexas, então a única solução real é
. Isso significa que nossa região de integração vai de algum ponto até
.
Passo 5
Agora, definimos os limites de integração:
-
varia de a (mas na prática, veremos que a região é limitada). - Para cada
, varia de a .
Passo 6
Configuramos a integral dupla para o volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 7
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Integrando
em
, temos:
onde
.
Passo 8
Após calcular a integral em
e depois em
, encontramos o valor do volume. Após os cálculos, o volume do sólido delimitado pelas duas superfícies é:
Resposta
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Seja
onde
sao constantes nao nulas. Mostre que
Sendo
dadas por
, e
dada por
, calcule
Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções.
Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções.