Calcule o volume do sólido delimitado por z = 2 x^2 + y^2 e z = 4 - 3 x^3 - y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies e . A gente vai precisar usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, pra encontrar esse volume. Primeiro, vamos descobrir onde essas duas superfícies se encontram pra saber os limites da nossa integração.

Passo 2

Para achar a interseção das superfícies, igualamos as duas equações de :
Simplificando isso, a gente tem:

Passo 3

Vamos isolar :
Para que seja real, o lado direito deve ser positivo:
Vamos resolver essa desigualdade pra achar os valores de que nos interessam.

Passo 4

Resolvendo :
Primeiro, encontramos as raízes da equação . Por tentativa e erro ou usando métodos numéricos, encontramos que é uma raiz. Então, podemos fatorar:
As outras raízes são complexas, então a única solução real é . Isso significa que nossa região de integração vai de algum ponto até .

Passo 5

Agora, definimos os limites de integração:
  • varia de a (mas na prática, veremos que a região é limitada).
  • Para cada , varia de a .

Passo 6

Configuramos a integral dupla para o volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 7

Vamos integrar primeiro em relação a :
Integrando em , temos:
onde .

Passo 8

Após calcular a integral em e depois em , encontramos o valor do volume. Após os cálculos, o volume do sólido delimitado pelas duas superfícies é:

Resposta

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