Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites da função
. Esses conceitos fazem parte do estudo de cálculo diferencial e nos ajudam a entender o comportamento dos gráficos das funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função, resolver equações, analisar limites e entender o que são assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Ponto crítico é onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, vamos calcular a derivada de
.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, encontramos onde a derivada é zero:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:
Resolvendo essa equação quadrática:
Assim, temos:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos locais. Para isso, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos a segunda derivada de
:
Passo 5
Avaliamo a segunda derivada nos pontos críticos:
Para
:
Como
, isso indica que
é um mínimo local.
Para
:
Como
, isso indica que
é um máximo local.
Passo 6
Vamos agora calcular os valores de
nos pontos críticos para encontrar os valores de máximo e mínimo:
Para
:
Então, o mínimo local é
.
Para
:
Então, o máximo local é
.
Passo 7
Agora, vamos analisar as assíntotas da função. Assíntotas são retas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca. Para funções polinomiais como essa, não existem assíntotas verticais ou horizontais, já que o grau do polinômio é maior ou igual a 1 e não há divisões que possam gerar assíntotas.
Passo 8
Vamos calcular os limites da função quando
tende ao infinito positivo e negativo:
Passo 9
Com todas essas informações, conseguimos esboçar o gráfico da função:
- Tem um máximo local em
e um mínimo local em . - Conforme
vai para , vai para . - Conforme
vai para , vai para . - Não há assíntotas.
Resposta
Os pontos críticos são
(máximo local com
) e
(mínimo local com
). A função não possui assíntotas. Os limites são
e
. Com base nesses resultados, o gráfico da função apresenta um máximo local em
, um mínimo local em
e cresce indefinidamente para ambos os lados do eixo
.
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e
.
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