Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. 2 x^3 - 3 x^2 - 12 x + 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites da função . Esses conceitos fazem parte do estudo de cálculo diferencial e nos ajudam a entender o comportamento dos gráficos das funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função, resolver equações, analisar limites e entender o que são assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Ponto crítico é onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, vamos calcular a derivada de .
A derivada de é:

Passo 3

Agora, encontramos onde a derivada é zero:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:
Resolvendo essa equação quadrática:
Assim, temos:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora, vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos locais. Para isso, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos a segunda derivada de :

Passo 5

Avaliamo a segunda derivada nos pontos críticos:
Para :
Como , isso indica que é um mínimo local.
Para :
Como , isso indica que é um máximo local.

Passo 6

Vamos agora calcular os valores de nos pontos críticos para encontrar os valores de máximo e mínimo:
Para :
Então, o mínimo local é .
Para :
Então, o máximo local é .

Passo 7

Agora, vamos analisar as assíntotas da função. Assíntotas são retas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca. Para funções polinomiais como essa, não existem assíntotas verticais ou horizontais, já que o grau do polinômio é maior ou igual a 1 e não há divisões que possam gerar assíntotas.

Passo 8

Vamos calcular os limites da função quando tende ao infinito positivo e negativo:

Passo 9

Com todas essas informações, conseguimos esboçar o gráfico da função:
  • Tem um máximo local em e um mínimo local em .
  • Conforme vai para , vai para .
  • Conforme vai para , vai para .
  • Não há assíntotas.

Resposta

Os pontos críticos são (máximo local com ) e (mínimo local com ). A função não possui assíntotas. Os limites são e . Com base nesses resultados, o gráfico da função apresenta um máximo local em , um mínimo local em e cresce indefinidamente para ambos os lados do eixo .

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