Seja
onde
sao constantes nao nulas. Mostre que
Passo 1
Então, nesse exercício, a gente tem uma função vetorial
que descreve um movimento oscilatório em duas direções: a direção
e a direção
. O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que, ao calcular a segunda derivada dessa função em relação ao tempo
, a gente chega em
vezes a própria função
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
em relação ao tempo
. Isso nos dará a velocidade vetorial.
A função dada é:
Vamos derivar cada componente separadamente. Lembre-se que a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Então, a primeira derivada é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos dará a aceleração vetorial.
Derivando novamente cada componente da primeira derivada:
Passo 4
Observe que a segunda derivada que obtivemos pode ser fatorada da seguinte maneira:
Mas, olhando a definição original de
:
Portanto, podemos substituir
na equação da segunda derivada:
Resposta
Assim, mostramos que
.
Exercícios relacionados
Sendo
dadas por
, e
dada por
, calcule
Obtenha uma reparametrização da Ciclóide:
pelo comprimento de arco
Calcule o volume do sólido delimitado por
e
.
Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções.