Seja r(t) = a cos(ω t) i + b sen(ω t) j onde a, b, omega sao constantes nao nulas. Mostre que
d^2 r / d t^2 = -omega^2 * r(t)

Passo 1

Então, nesse exercício, a gente tem uma função vetorial r(t) que descreve um movimento oscilatório em duas direções: a direção e a direção . O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que, ao calcular a segunda derivada dessa função em relação ao tempo t, a gente chega em vezes a própria função r(t). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de r(t) em relação ao tempo t. Isso nos dará a velocidade vetorial.
A função dada é:
Vamos derivar cada componente separadamente. Lembre-se que a derivada de é e a derivada de é .
Então, a primeira derivada é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos dará a aceleração vetorial.
Derivando novamente cada componente da primeira derivada:

Passo 4

Observe que a segunda derivada que obtivemos pode ser fatorada da seguinte maneira:
Mas, olhando a definição original de r(t):
Portanto, podemos substituir r(t) na equação da segunda derivada:

Resposta

Assim, mostramos que .

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