Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. x^3 - 3x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar os pontos críticos, os valores de máximo e mínimo local, identificar assíntotas e calcular os limites da função . Depois, com tudo isso, vamos desenhar o gráfico da função. Para isso, vamos usar derivadas, que ajudam a encontrar as taxas de variação e identificar máximos e mínimos, e também vamos analisar o comportamento da função em diferentes pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou indefinida. Eles são importantes porque indicam possíveis máximos e mínimos locais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função . Usamos a regra do poder:

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde a derivada é igual a zero:
Podemos fatorar:
Então, temos duas soluções:
Esses são nossos pontos críticos: e .

Passo 5

Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou nenhum. Para isso, usamos o teste da segunda derivada.
Primeiro, calculamos a segunda derivada da função:
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
  • Em :
Como , temos um máximo local em .
  • Em :
Como , temos um mínimo local em .

Passo 6

Vamos agora calcular os limites da função em alguns pontos importantes para entender seu comportamento.
  • Limite quando vai para :
  • Limite quando vai para :
Esses limites nos dizem que a função cresce sem limites positivos e negativos conforme se afasta do zero em ambas as direções.

Passo 7

Vamos verificar se existem assíntotas na função. Assíntotas podem ser horizontais, verticais ou oblíquas.
No caso da função :
  • Assíntotas verticais: Não há, pois a função é um polinômio e está definida para todos os valores de .
  • Assíntotas horizontais: Não há, já que o grau do numerador é maior que o do denominador (na verdade, não há denominador além de 1).
  • Assíntotas oblíquas: Não há, porque as assíntotas oblíquas aparecem quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o do denominador, o que não se aplica aqui.
Então, a função não possui assíntotas.

Passo 8

Vamos resumir as informações:
  • Pontos críticos: (máximo local) e (mínimo local).
  • Limites: e .
  • Assíntotas: Nenhuma.

Passo 9

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
  1. A função passa por com um máximo local.
  2. Ela tem um mínimo local em .
  3. Conforme vai para , tende para , e para , tende para .
  4. Não há assíntotas, então o gráfico continua se estendendo sem se aproximar de nenhuma linha específica.
O gráfico será uma curva que sobe até o ponto , desce até e depois sobe novamente, formando uma espécie de “S”.

Resposta

Os pontos críticos são (máximo local) e (mínimo local). A função não possui assíntotas e os limites são e . Com base nisso, o gráfico da função apresenta um máximo em , um mínimo em e cresce indefinidamente em ambas as direções do eixo .

Exercícios relacionados

Calcule o volume do sólido delimitado por z = 2 x^2 + y^2 e z = 4 - 3 x^3 - y^2.
Seja r(t) = a cos(ω t) i + b sen(ω t) j onde a, b, omega sao constantes nao nulas. Mostre que
d^2 r / d t^2 = -omega^2 * r(t)
Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. 2 x^3 - 3 x^2 - 12 x + 2
Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. x^3 * (x-2)^2