Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar os pontos críticos, os valores de máximo e mínimo local, identificar assíntotas e calcular os limites da função
. Depois, com tudo isso, vamos desenhar o gráfico da função. Para isso, vamos usar derivadas, que ajudam a encontrar as taxas de variação e identificar máximos e mínimos, e também vamos analisar o comportamento da função em diferentes pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou indefinida. Eles são importantes porque indicam possíveis máximos e mínimos locais.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função
. Usamos a regra do poder:
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde a derivada é igual a zero:
Podemos fatorar:
Então, temos duas soluções:
Esses são nossos pontos críticos:
e
.
Passo 5
Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou nenhum. Para isso, usamos o teste da segunda derivada.
Primeiro, calculamos a segunda derivada da função:
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
- Em
:
Como
, temos um máximo local em
.
- Em
:
Como
, temos um mínimo local em
.
Passo 6
Vamos agora calcular os limites da função em alguns pontos importantes para entender seu comportamento.
- Limite quando
vai para :
- Limite quando
vai para :
Esses limites nos dizem que a função cresce sem limites positivos e negativos conforme
se afasta do zero em ambas as direções.
Passo 7
Vamos verificar se existem assíntotas na função. Assíntotas podem ser horizontais, verticais ou oblíquas.
No caso da função
:
-
Assíntotas verticais: Não há, pois a função é um polinômio e está definida para todos os valores de
. -
Assíntotas horizontais: Não há, já que o grau do numerador é maior que o do denominador (na verdade, não há denominador além de 1).
-
Assíntotas oblíquas: Não há, porque as assíntotas oblíquas aparecem quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o do denominador, o que não se aplica aqui.
Então, a função não possui assíntotas.
Passo 8
Vamos resumir as informações:
- Pontos críticos:
(máximo local) e (mínimo local). - Limites:
e . - Assíntotas: Nenhuma.
Passo 9
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
- A função passa por
com um máximo local. - Ela tem um mínimo local em
. - Conforme
vai para , tende para , e para , tende para . - Não há assíntotas, então o gráfico continua se estendendo sem se aproximar de nenhuma linha específica.
O gráfico será uma curva que sobe até o ponto
, desce até
e depois sobe novamente, formando uma espécie de “S”.
Resposta
Os pontos críticos são
(máximo local) e
(mínimo local). A função não possui assíntotas e os limites são
e
. Com base nisso, o gráfico da função
apresenta um máximo em
, um mínimo em
e cresce indefinidamente em ambas as direções do eixo
.
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Calcule o volume do sólido delimitado por
e
.
Seja
onde
sao constantes nao nulas. Mostre que
Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções.
Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções.