Calcule: o volume do sólido
que está no primeiro octante, limitado superiormente pela esfera
e inferiormente pelo cone
, usando coordenadas esféricas,
Passo 1
Beleza! Temos que calcular o volume de um sólido
que está no primeiro octante. Esse sólido é limitado de cima por uma esfera dada por
e de baixo por um cone definido por
. Vamos usar coordenadas esféricas para resolver isso. Para isso, precisamos entender como transformar as equações da esfera e do cone para coordenadas esféricas e determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por três coordenadas:
(a distância do ponto até a origem),
(o ângulo no plano xy a partir do eixo x) e
(o ângulo a partir do eixo z). As relações de conversão são:
Passo 3
Vamos converter as equações da esfera e do cone para coordenadas esféricas. A esfera
se torna:
Já o cone
pode ser reescrito como:
Passo 4
Como estamos no primeiro octante, os limites para
vão de 0 a
. Para
, já vimos que vai de 0 (eixo z) até
(o cone). E
varia de 0 até a superfície da esfera, que é
.
Passo 5
O volume em coordenadas esféricas é dado por:
Vamos calcular a integral de dentro para fora:
Agora a integral fica:
Integrando em relação a
:
Agora:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido
é:
Exercícios relacionados
Esboce a região de integração e monte a integral trocando a ordem de integral (não precisa calcular, somente montar)
Calcule: o volume do sólido
contido no cilindro
, abaixo do plano
e acima do paraboloide
;
Considere as curvas
é o segmento de reta de
a
e
é o círculo de centro na origem e raio 2 que está no segundo quadrante. Parametrize
e
(escreva usando função vetorial
);
Determine
em que
e
é a parte do cilindro
que está entre o paraboloide
e o plano
, com todos os vetores normais apontando para o exterior da superfície.