Calcule: o volume do sólido que está no primeiro octante, limitado superiormente pela esfera e inferiormente pelo cone , usando coordenadas esféricas,

Passo 1

Beleza! Temos que calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante. Esse sólido é limitado de cima por uma esfera dada por e de baixo por um cone definido por . Vamos usar coordenadas esféricas para resolver isso. Para isso, precisamos entender como transformar as equações da esfera e do cone para coordenadas esféricas e determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por três coordenadas: (a distância do ponto até a origem), (o ângulo no plano xy a partir do eixo x) e (o ângulo a partir do eixo z). As relações de conversão são:

Passo 3

Vamos converter as equações da esfera e do cone para coordenadas esféricas. A esfera se torna:
Já o cone pode ser reescrito como:

Passo 4

Como estamos no primeiro octante, os limites para vão de 0 a . Para , já vimos que vai de 0 (eixo z) até (o cone). E varia de 0 até a superfície da esfera, que é .

Passo 5

O volume em coordenadas esféricas é dado por:
Vamos calcular a integral de dentro para fora:
Agora a integral fica:
Integrando em relação a :
Agora:
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido é:
ú

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Determine
em que e é a parte do cilindro que está entre o paraboloide e o plano , com todos os vetores normais apontando para o exterior da superfície.