Esboce o domínio da função f em cada um dos casos a seguir.
f(x, y, z) = ln(1 - x^2 - y^2 + z^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função de três variáveis:
O objetivo é esboçar o domínio dessa função. Isso significa descobrir todos os valores de , e que fazem a função ser válida. Para isso, vamos usar conceitos de logaritmos e desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural, , só está definido quando . Então, para a nossa função ser válida, o argumento do logaritmo precisa ser maior que zero:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar as condições sobre , e . Vamos reorganizar os termos:
Podemos reescrever isso como:

Passo 4

Para entender melhor essa desigualdade, vamos analisar o que ela representa no espaço tridimensional. A desigualdade define uma região onde está “acima” ou “abaixo” de um paraboloide hiperbólico.
Isso significa que, para cada ponto , a componente precisa ser suficientemente grande para que a desigualdade seja verdadeira.

Passo 5

Vamos visualizar isso. Imagine que representa um círculo no plano . Conforme e aumentam, aumenta, então precisa ser maior para satisfazer a desigualdade.
Isso nos dá uma região entre dois paraboloides duplos abertos ao longo do eixo .

Passo 6

Portanto, o domínio da função é o conjunto de todos os pontos no espaço tridimensional que satisfazem a desigualdade:
Ou seja:

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pontos que satisfazem a desigualdade:
Ou, equivalentemente:
Isso descreve uma região do espaço onde o logaritmo está definido.

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f(x, y) = ln((raiz(x^2 + y^2) - x) / (raiz(x^2 + y^2) + x)).