Esboce o domínio da função
em cada um dos casos a seguir.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função de três variáveis:
O objetivo é esboçar o domínio dessa função. Isso significa descobrir todos os valores de
,
e
que fazem a função ser válida. Para isso, vamos usar conceitos de logaritmos e desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural,
, só está definido quando
. Então, para a nossa função
ser válida, o argumento do logaritmo precisa ser maior que zero:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar as condições sobre
,
e
. Vamos reorganizar os termos:
Podemos reescrever isso como:
Passo 4
Para entender melhor essa desigualdade, vamos analisar o que ela representa no espaço tridimensional. A desigualdade
define uma região onde
está “acima” ou “abaixo” de um paraboloide hiperbólico.
Isso significa que, para cada ponto
, a componente
precisa ser suficientemente grande para que a desigualdade seja verdadeira.
Passo 5
Vamos visualizar isso. Imagine que
representa um círculo no plano
. Conforme
e
aumentam,
aumenta, então
precisa ser maior para satisfazer a desigualdade.
Isso nos dá uma região entre dois paraboloides duplos abertos ao longo do eixo
.
Passo 6
Portanto, o domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
no espaço tridimensional que satisfazem a desigualdade:
Ou seja:
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem a desigualdade:
Ou, equivalentemente:
Isso descreve uma região do espaço onde o logaritmo está definido.
Exercícios relacionados
Seja
a parte do paraboloide
que está acima do plano
. Calcule
fluxo do campo vetorial
através de S .
Calcule o volume do sólido e esboce o sólido.
Do sólido que se encontra abaixo do parabolóide e acima do retângulo
Do sólido que se encontra abaixo do parabolóide
Determine o volume do sólido formado pela região abaixo do plano
e acima do plano xy e está no primeiro quadrante.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
.