Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada por um círculo de raio 3 cm em torno de uma reta em seu plano que está a 7 cm de seu centro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido formado ao girar uma região limitada por um círculo de raio 3 cm ao redor de uma reta que está a 7 cm do centro desse círculo. Isso envolve conceitos de Cálculo, especificamente o volume de sólidos de revolução. Vamos precisar entender como aplicar a fórmula para calcular esse volume usando o Teorema de Pappus.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine um círculo com raio
cm. A reta em torno da qual vamos girar o círculo está a uma distância
cm do centro do círculo. Para calcular o volume gerado por essa rotação, podemos usar o Teorema de Pappus.
Passo 3
O Teorema de Pappus nos diz que o volume
do sólido de revolução é igual à área
da figura original multiplicada pelo comprimento do caminho percorrido pelo seu centro de massa durante a rotação.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a área
do círculo. A fórmula da área de um círculo é:
Substituindo
cm:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o comprimento do caminho percorrido pelo centro de massa do círculo durante a rotação. Como o centro está a 7 cm da reta de rotação, o caminho é uma circunferência com raio
cm. O comprimento dessa circunferência é:
Passo 6
Aplicando o Teorema de Pappus, multiplicamos a área
pelo comprimento
:
Resposta
O volume do sólido gerado é
centímetros cúbicos.
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