Determine o comprimento de arco de cada curva em coordenadas polares, entre os valores de
indicados:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para determinar o comprimento de arco de uma curva definida em coordenadas polares. A curva é dada por
, e queremos encontrar o comprimento do arco quando
varia de
a
. Para isso, vamos utilizar a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para o comprimento de arco em coordenadas polares. Se temos uma curva definida por
, o comprimento de arco
entre
e
é dado por:
Passo 3
No nosso caso, a função é
. Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então,
Passo 6
A raiz quadrada pode ser simplificada:
Assim,
Passo 7
Agora, calculamos a integral:
Avaliado de
a
, temos:
Passo 8
Agora, multiplicamos pelo
:
Resposta
O comprimento de arco da curva
para
é:
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31.
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