Determine o comprimento de arco de cada curva em coordenadas polares, entre os valores de theta indicados: rho = e^(-3 theta), 0 <= theta <= 2 pi

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para determinar o comprimento de arco de uma curva definida em coordenadas polares. A curva é dada por , e queremos encontrar o comprimento do arco quando theta varia de 0 a . Para isso, vamos utilizar a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para o comprimento de arco em coordenadas polares. Se temos uma curva definida por , o comprimento de arco S entre e é dado por:

Passo 3

No nosso caso, a função é . Vamos calcular a derivada de rho em relação a theta:

Passo 4

Agora, substituímos rho e na fórmula do comprimento de arco:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então,

Passo 6

A raiz quadrada pode ser simplificada:
Assim,

Passo 7

Agora, calculamos a integral:
Avaliado de 0 a , temos:

Passo 8

Agora, multiplicamos pelo raiz(10):

Resposta

O comprimento de arco da curva para é:

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