Encontre a transformada de Laplace da função dada.
8. f(t) = { 0, t < 1; t² - 2t + 2, t ≥ 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função que é definida de forma diferente antes e depois de . O conteúdo principal aqui é a Transformada de Laplace, e vamos precisar usar a propriedade do deslocamento no tempo para funções que começam a existir em um certo ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando a função de passo unitário, também conhecida como função de Heaviside, que é representada por . Assim, a função dada fica:
Isso significa que para , , então . Para , , então .

Passo 3

Agora, lembrando da propriedade do deslocamento no tempo da Transformada de Laplace:
onde é a transformada de Laplace de .
Vamos identificar na nossa função. Aqui, e .

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar a transformada de Laplace de .
Sabemos que:
Então:
Agora, combinando tudo:

Passo 5

Aplicando a propriedade do deslocamento no tempo:
Simplificando:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

Exercícios relacionados