Encontre a transformada de Laplace da função dada.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função
que é definida de forma diferente antes e depois de
. O conteúdo principal aqui é a Transformada de Laplace, e vamos precisar usar a propriedade do deslocamento no tempo para funções que começam a existir em um certo ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
usando a função de passo unitário, também conhecida como função de Heaviside, que é representada por
. Assim, a função dada fica:
Isso significa que para
,
, então
. Para
,
, então
.
Passo 3
Agora, lembrando da propriedade do deslocamento no tempo da Transformada de Laplace:
onde
é a transformada de Laplace de
.
Vamos identificar
na nossa função. Aqui,
e
.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar a transformada de Laplace de
.
Sabemos que:
Então:
Agora, combinando tudo:
Passo 5
Aplicando a propriedade do deslocamento no tempo:
Simplificando:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: