Determine a área limitada pelas curvas em coordenadas polares, entre os valores de theta indicados: \rho = 4 sen(\theta), 0 <= \theta <= \pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a área delimitada pela curva em coordenadas polares dada por , no intervalo de theta de 0 a pi. Para resolver isso, vamos usar o conceito de área em coordenadas polares, que envolve integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área em coordenadas polares. A fórmula para a área A é:
Nesse caso, , e os limites de integração são de 0 a pi.

Passo 3

Vamos substituir rho na fórmula:
Calculando o quadrado:
Podemos simplificar:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral de . Para isso, usamos uma identidade trigonométrica que facilita a integração:
Substituindo na integral:

Passo 5

Vamos dividir a integral:
Integrando cada parte:

Passo 6

Substituindo os resultados na expressão da área:

Resposta

A área delimitada pelas curvas é unidades de área.

Exercícios relacionados