Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado:
e
em torno da reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do sólido que é gerado quando a região limitada pelas curvas
,
e
é girada em torno da reta
. Para isso, vamos usar o método dos discos (ou anéis), que envolve integrais e áreas de círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites da nossa região. A curva
é uma linha reta que sobe de 0 a 4 quando
vai de 0 a 4. A linha
é o eixo x, e
é uma linha vertical. Então, estamos trabalhando com uma região triangular.
Passo 3
Como vamos girar essa região em torno da reta
, que é paralela ao eixo x e está 2 unidades abaixo. Para aplicar o método dos discos, precisamos calcular o raio de cada disco formado pela rotação. O raio será a distância de cada ponto da curva
até a reta
.
Passo 4
A distância entre
e
é dada por
. Esse será o raio do nosso disco para cada valor de
.
Passo 5
A área de cada disco é
. Então, a área do disco será
.
Passo 6
Para encontrar o volume total, vamos integrar essa área desde
até
. A integral será:
Passo 7
Vamos expandir
para facilitar a integração:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então:
Passo 9
Vamos calcular os valores nos limites:
Para :
Para
Para
:
Então:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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Encontre
e
.
Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado.
(a) e
em torno do eixo
.
(a)
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, o eixo
e a reta
em torno do eixo
: Trace o paraboloide de revolução.
Uma torre tem 26 metros de altura. Uma seção transversal horizontal
metros acima da base é um retângulo cujo comprimento do lado maior é
metros e cujo comprimento do lado menor é
metros. Calcule o volume da torre.