Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado: e em torno da reta .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do sólido que é gerado quando a região limitada pelas curvas , e é girada em torno da reta . Para isso, vamos usar o método dos discos (ou anéis), que envolve integrais e áreas de círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites da nossa região. A curva é uma linha reta que sobe de 0 a 4 quando vai de 0 a 4. A linha é o eixo x, e é uma linha vertical. Então, estamos trabalhando com uma região triangular.

Passo 3

Como vamos girar essa região em torno da reta , que é paralela ao eixo x e está 2 unidades abaixo. Para aplicar o método dos discos, precisamos calcular o raio de cada disco formado pela rotação. O raio será a distância de cada ponto da curva até a reta .

Passo 4

A distância entre e é dada por . Esse será o raio do nosso disco para cada valor de .

Passo 5

A área de cada disco é . Então, a área do disco será .

Passo 6

Para encontrar o volume total, vamos integrar essa área desde até . A integral será:

Passo 7

Vamos expandir para facilitar a integração:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então:

Passo 9

Vamos calcular os valores nos limites:
Para :
Para :
Então:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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(a) e em torno do eixo .
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