Um paraboloide sólido de revolução é gerado pela revolução da região limitada pelo gráfico de
, o eixo
e a reta
em torno do eixo
: Trace o paraboloide de revolução.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida por
, o eixo
e a reta
. Ao girar essa região em torno do eixo
, formamos um paraboloide de revolução. Para resolver isso, precisamos conhecer conceitos de geometria de sólidos de revolução e como obter a equação desse paraboloide.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é um sólido de revolução. É um sólido formado ao girar uma área plana em torno de um eixo. No nosso caso, estamos girando a curva
em torno do eixo
. Isso cria uma superfície tridimensional chamada paraboloide de revolução.
Passo 3
Para encontrar a equação desse paraboloide, vamos usar a simetria da revolução. Quando uma curva
é girada em torno do eixo
, a equação tridimensional resultante relaciona
e
de forma que
.
Passo 4
Aplicando isso à nossa curva
, temos:
Simplificando o lado direito da equação:
Passo 5
Então, a equação do paraboloide de revolução gerado pela rotação da curva dada em torno do eixo
é:
Resposta
A equação do paraboloide de revolução é
.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado:
e
em torno da reta
.
Encontre
e
.
Uma torre tem 26 metros de altura. Uma seção transversal horizontal
metros acima da base é um retângulo cujo comprimento do lado maior é
metros e cujo comprimento do lado menor é
metros. Calcule o volume da torre.
Encontre a transformada de Laplace da função dada.
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