Um paraboloide sólido de revolução é gerado pela revolução da região limitada pelo gráfico de , o eixo e a reta em torno do eixo : Trace o paraboloide de revolução.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida por , o eixo e a reta . Ao girar essa região em torno do eixo , formamos um paraboloide de revolução. Para resolver isso, precisamos conhecer conceitos de geometria de sólidos de revolução e como obter a equação desse paraboloide.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é um sólido de revolução. É um sólido formado ao girar uma área plana em torno de um eixo. No nosso caso, estamos girando a curva em torno do eixo . Isso cria uma superfície tridimensional chamada paraboloide de revolução.

Passo 3

Para encontrar a equação desse paraboloide, vamos usar a simetria da revolução. Quando uma curva é girada em torno do eixo , a equação tridimensional resultante relaciona e de forma que .

Passo 4

Aplicando isso à nossa curva , temos:
Simplificando o lado direito da equação:

Passo 5

Então, a equação do paraboloide de revolução gerado pela rotação da curva dada em torno do eixo é:

Resposta

A equação do paraboloide de revolução é .

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