Uma torre tem 26 metros de altura. Uma seção transversal horizontal
metros acima da base é um retângulo cujo comprimento do lado maior é
metros e cujo comprimento do lado menor é
metros. Calcule o volume da torre.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma torre que tem 26 metros de altura, e em qualquer ponto horizontal a uma altura
metros da base, a seção transversal é um retângulo com lados que dependem de
. Nosso objetivo é calcular o volume total dessa torre. Para isso, vamos usar o conceito de integrais do cálculo, que nos ajuda a somar infinitas pequenas áreas ao longo da altura da torre para encontrar o volume total.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar a área da seção transversal em função de
. A questão nos diz que:
- O lado maior do retângulo é
metros. - O lado menor do retângulo é
metros.
Então, a área
da seção transversal em um ponto
é:
Passo 3
Agora que temos a área da seção transversal em função de
, podemos encontrar o volume da torre integrando essa área ao longo de toda a altura da torre, ou seja, de
até
metros. A fórmula para o volume
será:
Passo 4
Vamos calcular essa integral passo a passo:
-
Fatorando a constante:Podemos tirar o
da integral: -
Substituição:Para facilitar a integração, fazemos a substituição
, então . Mudando os limites de integração: - Quando
, . - Quando
, .
A integral fica: - Quando
-
Calculando a integral:A integral de
é , então: -
Calculando
: -
Finalizando o cálculo:
Resposta
O volume da torre é aproximadamente
metros cúbicos.
Exercícios relacionados
Um paraboloide sólido de revolução é gerado pela revolução da região limitada pelo gráfico de
, o eixo
e a reta
em torno do eixo
: Trace o paraboloide de revolução.
Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado:
e
em torno da reta
.
Encontre a transformada de Laplace da função dada.
31.
31.
Transforme cada equação polar em cartesiana: