Uma torre tem 26 metros de altura. Uma seção transversal horizontal metros acima da base é um retângulo cujo comprimento do lado maior é metros e cujo comprimento do lado menor é metros. Calcule o volume da torre.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma torre que tem 26 metros de altura, e em qualquer ponto horizontal a uma altura metros da base, a seção transversal é um retângulo com lados que dependem de . Nosso objetivo é calcular o volume total dessa torre. Para isso, vamos usar o conceito de integrais do cálculo, que nos ajuda a somar infinitas pequenas áreas ao longo da altura da torre para encontrar o volume total.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar a área da seção transversal em função de . A questão nos diz que:
  • O lado maior do retângulo é metros.
  • O lado menor do retângulo é metros.
Então, a área da seção transversal em um ponto é:

Passo 3

Agora que temos a área da seção transversal em função de , podemos encontrar o volume da torre integrando essa área ao longo de toda a altura da torre, ou seja, de até metros. A fórmula para o volume será:

Passo 4

Vamos calcular essa integral passo a passo:
  1. Fatorando a constante:
    Podemos tirar o da integral:
  2. Substituição:
    Para facilitar a integração, fazemos a substituição , então . Mudando os limites de integração:
    • Quando , .
    • Quando , .
    A integral fica:
  3. Calculando a integral:
    A integral de é , então:
  4. Calculando :
  5. Finalizando o cálculo:
    ú

Resposta

O volume da torre é aproximadamente metros cúbicos.

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