Determine a área limitada pelas curvas em coordenadas polares, entre os valores de indicados:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área limitada pela curva definida em coordenadas polares pela equação , quando varia de 0 a . Para isso, vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares. A gente vai precisar entender como calcular áreas usando integrais em polares e aplicar essa fórmula direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular a área em coordenadas polares entre dois ângulos e :
Aqui, é a função que define a curva em termos de . No nosso caso, .
Passo 3
Agora, vamos substituir a nossa função na fórmula:
Antes de resolver a integral, precisamos expandir o quadrado para facilitar o cálculo.
Passo 4
Expandindo :
Então, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos agora integrar termo a termo:
Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Passo 6
Agora, somamos os resultados das integrais:
Resposta
A área limitada pela curva entre e é unidades de área.