Determine a área limitada pelas curvas em coordenadas polares, entre os valores de theta indicados: rho = 1 - cos(theta), 0 <= theta <= pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área limitada pela curva definida em coordenadas polares pela equação , quando varia de 0 a . Para isso, vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares. A gente vai precisar entender como calcular áreas usando integrais em polares e aplicar essa fórmula direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular a área em coordenadas polares entre dois ângulos e :
Aqui, é a função que define a curva em termos de . No nosso caso, .

Passo 3

Agora, vamos substituir a nossa função na fórmula:
Antes de resolver a integral, precisamos expandir o quadrado para facilitar o cálculo.

Passo 4

Expandindo :
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos agora integrar termo a termo:
Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Então:

Passo 6

Agora, somamos os resultados das integrais:

Resposta

A área limitada pela curva entre e é unidades de área.

Exercícios relacionados

Determine a área limitada pelas curvas em coordenadas polares, entre os valores de theta indicados: rho = -theta, 0 <= theta <= pi / 2
Determine o comprimento de arco de cada curva em coordenadas polares, entre os valores de theta indicados: \rho = 1 - cos(\theta), 0 <= \theta <= 2 pi
2 t^2 y'' - 5 t y' + 5 y = 0, t > 0
Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado: y = x^3, x = 1 e y = 0 em torno da reta x = -2.