Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas e em torno do eixo .

Passo 1

Vamos calcular o volume de um sólido que é formado ao girar a região limitada pelas curvas , (que é o eixo ) e (o eixo ) em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica da geometria para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os limites do nosso intervalo. A curva cruza o eixo quando . Sabemos que isso acontece em . Então, nosso intervalo vai de até .

Passo 3

No método dos discos, o volume é calculado integrando a área dos discos ao longo do intervalo. A fórmula geral é:
Aqui, , e .

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
Agora, precisamos calcular essa integral.

Passo 5

Para integrar , vamos usar a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:

Passo 6

Vamos calcular a integral separadamente:

Passo 7

Somando as integrais:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Nos exercícios 23-34, encontre e
Mostre, usando a definição de primitiva, que e , explique por que isso não gera nenhuma incoerência.
Faça um esboço e calcule a área das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes funções:
(b)
Calcule a área do triângulo em que tem vértices em e .