Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas e em torno do eixo .
Passo 1
Vamos calcular o volume de um sólido que é formado ao girar a região limitada pelas curvas , (que é o eixo ) e (o eixo ) em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica da geometria para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os limites do nosso intervalo. A curva cruza o eixo quando . Sabemos que isso acontece em . Então, nosso intervalo vai de até .
Passo 3
No método dos discos, o volume é calculado integrando a área dos discos ao longo do intervalo. A fórmula geral é:
Aqui, , e .
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Agora, precisamos calcular essa integral.
Passo 5
Para integrar , vamos usar a identidade trigonométrica: