Faça um esboço e calcule a área das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes funções:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas funções: e . Nosso objetivo é desenhar os gráficos dessas parábolas e calcular a área da região que elas delimitam. Para isso, vamos precisar entender como as parábolas se comportam e usar a integração para encontrar a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas parábolas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Isso vai nos ajudar a definir os limites da nossa área.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação:
Então, as parábolas se intersectam quando e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de correspondentes a esses valores de :
Para :
Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Vamos esboçar os gráficos:
  • A primeira equação, , é uma parábola que abre para a direita com vértice na origem.
  • A segunda equação, , também é uma parábola que abre para a direita, mas está deslocada 4 unidades para a esquerda.
As duas parábolas se cruzam nos pontos e , formando uma região fechada entre elas.

Passo 6

Para calcular a área entre as duas curvas, podemos integrar a diferença das funções em relação a entre os limites e .
A área é dada por:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:

Resposta

A área das regiões delimitadas pelos gráficos das funções e é unidades quadradas.

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