Faça um esboço e calcule a área das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes funções:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas funções:
e
. Nosso objetivo é desenhar os gráficos dessas parábolas e calcular a área da região que elas delimitam. Para isso, vamos precisar entender como as parábolas se comportam e usar a integração para encontrar a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas parábolas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Isso vai nos ajudar a definir os limites da nossa área.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação:
Então, as parábolas se intersectam quando
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os valores de
correspondentes a esses valores de
:
Para :
Para
Para
:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Vamos esboçar os gráficos:
- A primeira equação,
, é uma parábola que abre para a direita com vértice na origem. - A segunda equação,
, também é uma parábola que abre para a direita, mas está deslocada 4 unidades para a esquerda.
As duas parábolas se cruzam nos pontos
e
, formando uma região fechada entre elas.
Passo 6
Para calcular a área entre as duas curvas, podemos integrar a diferença das funções em relação a
entre os limites
e
.
A área
é dada por:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Calculando nos limites:
Para :
Para
Para
:
Subtraindo:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Resposta
A área das regiões delimitadas pelos gráficos das funções
e
é
unidades quadradas.