Mostre, usando a definição de primitiva, que e , explique por que isso não gera nenhuma incoerência.

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar primitivas da função . Vamos usar a definição de primitiva, que é basicamente encontrar uma função cuja derivada seja a função que estamos integrando. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco de derivadas e integrais, especialmente envolvendo funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma primitiva usando a função seno. Sabemos que a derivada de é , e a derivada de é (usando a regra da cadeia). Então, se queremos que a derivada seja apenas , podemos ajustar multiplicando por . Assim:
Portanto, uma primitiva de é , onde é a constante de integração.

Passo 3

Agora, vamos encontrar outra primitiva usando a função cosseno. Sabemos que a derivada de é , e a derivada de é . Para que a derivada seja , precisamos multiplicar por :
Assim, outra primitiva de é .

Passo 4

Pode parecer estranho termos duas primitivas diferentes para a mesma função, mas isso não gera nenhum problema porque as duas expressões diferem apenas por uma constante. Lembra que quando integramos, sempre adicionamos uma constante , já que a derivada de uma constante é zero. Portanto, e representam a mesma família de funções primitivas.

Resposta

As primitivas são e . Isso não gera nenhuma incoerência porque as duas expressões diferem apenas por uma constante, o que é permitido nas primitivas.

Exercícios relacionados

Seja , pede-se:
(a) Calcule ;
Sejam e . Escreva como uma soma em que é paralelo a e é ortogonal a .
Nos exercícios 23-34, encontre e
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas e em torno do eixo .