Mostre, usando a definição de primitiva, que
e
, explique por que isso não gera nenhuma incoerência.
Passo 1
Então, vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar primitivas da função
. Vamos usar a definição de primitiva, que é basicamente encontrar uma função cuja derivada seja a função que estamos integrando. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco de derivadas e integrais, especialmente envolvendo funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma primitiva usando a função seno. Sabemos que a derivada de
é
, e a derivada de
é
(usando a regra da cadeia). Então, se queremos que a derivada seja apenas
, podemos ajustar multiplicando por
. Assim:
Portanto, uma primitiva de
é
, onde
é a constante de integração.
Passo 3
Agora, vamos encontrar outra primitiva usando a função cosseno. Sabemos que a derivada de
é
, e a derivada de
é
. Para que a derivada seja
, precisamos multiplicar por
:
Assim, outra primitiva de
é
.
Passo 4
Pode parecer estranho termos duas primitivas diferentes para a mesma função, mas isso não gera nenhum problema porque as duas expressões diferem apenas por uma constante. Lembra que quando integramos, sempre adicionamos uma constante
, já que a derivada de uma constante é zero. Portanto,
e
representam a mesma família de funções primitivas.
Resposta
As primitivas são
e
. Isso não gera nenhuma incoerência porque as duas expressões diferem apenas por uma constante, o que é permitido nas primitivas.
Exercícios relacionados
Seja
, pede-se:
(a) Calcule
;
(a)
Sejam
e
. Escreva
como uma soma
em que
é paralelo a
e
é ortogonal a
.
Nos exercícios 23-34, encontre
e
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
.