Mostre, usando a definição de primitiva, que integral senx cdot cos x cdot d x=12 sen^2 x+C e integral sen x cdot cos x cdot d x=-12 cos ^2 x+C, explique por que isso não gera nenhuma incoerência.

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar primitivas da função sin x cdot cos x. Vamos usar a definição de primitiva, que é basicamente encontrar uma função cuja derivada seja a função que estamos integrando. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco de derivadas e integrais, especialmente envolvendo funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma primitiva usando a função seno. Sabemos que a derivada de sin x é cos x, e a derivada de sin^2 x é 2 sin x cos x (usando a regra da cadeia). Então, se queremos que a derivada seja apenas sin x cos x, podemos ajustar multiplicando por 12. Assim:
ddx(12 sin^2 x) = 12 cdot 2 sin x cos x = sin x cos x
Portanto, uma primitiva de sin x cos x é 12 sin^2 x + C, onde C é a constante de integração.

Passo 3

Agora, vamos encontrar outra primitiva usando a função cosseno. Sabemos que a derivada de cos x é -sin x, e a derivada de cos^2 x é 2 cos x (-sin x) = -2 sin x cos x. Para que a derivada seja sin x cos x, precisamos multiplicar por -12:
ddx(-12 cos^2 x) = -12 cdot (-2) sin x cos x = sin x cos x
Assim, outra primitiva de sin x cos x é -12 cos^2 x + C.

Passo 4

Pode parecer estranho termos duas primitivas diferentes para a mesma função, mas isso não gera nenhum problema porque as duas expressões diferem apenas por uma constante. Lembra que quando integramos, sempre adicionamos uma constante C, já que a derivada de uma constante é zero. Portanto, 12 sin^2 x + C e -12 cos^2 x + C representam a mesma família de funções primitivas.

Resposta

As primitivas são integral sin x cos x , dx = 12 sin^2x + C e integral sin x cos x , dx = -12 cos^2x + C. Isso não gera nenhuma incoerência porque as duas expressões diferem apenas por uma constante, o que é permitido nas primitivas.

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