Mostre que a área da elipse é . (Sugestão: calcule um quarto dessa área, obtendo a área delimitada pelos eixos coordenados e a curva no primeiro quadrante.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a área da elipse é . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo integral. Vamos calcular um quarto dessa área primeiro, focando no primeiro quadrante, e depois multiplicar por 4 para achar a área total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma elipse. Uma elipse é uma curva fechada onde a soma das distâncias de qualquer ponto na curva aos dois focos é constante. A equação geral da elipse que temos é . Os denominadores de e nos dão os semi-eixos da elipse: (horizontal) e (vertical).
Passo 3
Para achar a área da elipse, sabemos que a fórmula geral é . Mas, como vamos seguir a sugestão, vamos calcular a área no primeiro quadrante usando integração e depois multiplicar por 4.
Passo 4
No primeiro quadrante, tanto quanto são positivos. A equação da elipse pode ser rearranjada para ficar em termos de :
Essa é a função que vamos integrar para achar a área no primeiro quadrante.
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral para calcular essa área. A área sob a curva de a (já que ) é dada por:
Passo 6
Para resolver essa integral, reconhecemos que ela tem a forma de uma integral padrão que envolve uma raiz quadrada de uma expressão quadrática. A integral resulta em:
Aqui, , então substituímos na fórmula.
Passo 7
Aplicando a fórmula na nossa integral:
Simplificando:
Passo 8
Agora, avaliamos os limites de integração:
Para :
Para :
Então:
Passo 9
Esse é o valor da área no primeiro quadrante. Para encontrar a área total da elipse, multiplicamos por 4: