Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas , e em torno de:
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas , , e em torno de . Isso está relacionado ao cálculo de volumes por rotação, usando o método dos discos ou cilindros. Vamos precisar entender como aplicar a integração para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. As curvas e (que é o eixo ) entre e formam uma área que, ao girar em torno do eixo , cria um sólido de revolução.
Passo 3
Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método dos discos. Esse método envolve dividir o sólido em infinitos discos finos, calcular o volume de cada disco e somar todos esses volumes através de uma integral.
Passo 4
A fórmula do volume pelo método dos discos é:
Aqui, representa a função que está sendo girada, e e são os limites de integração.
Passo 5
No nosso caso, , e os limites de integração são de a . Então, substituindo na fórmula:
Passo 6
Vamos simplificar . Sabemos que elevado ao quadrado é . Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral . A integral de é , onde é uma constante.
Passo 8
Aplicando isso, temos:
Como estamos calculando um volume definido, não precisamos considerar a constante .