Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas , e em torno de:
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas , , e em torno de . Isso está relacionado ao cálculo de volumes por rotação, usando o método dos discos ou cilindros. Vamos precisar entender como aplicar a integração para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. As curvas e (que é o eixo ) entre e formam uma área que, ao girar em torno do eixo , cria um sólido de revolução.

Passo 3

Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método dos discos. Esse método envolve dividir o sólido em infinitos discos finos, calcular o volume de cada disco e somar todos esses volumes através de uma integral.

Passo 4

A fórmula do volume pelo método dos discos é:
Aqui, representa a função que está sendo girada, e e são os limites de integração.

Passo 5

No nosso caso, , e os limites de integração são de a . Então, substituindo na fórmula:

Passo 6

Vamos simplificar . Sabemos que elevado ao quadrado é . Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral . A integral de é , onde é uma constante.

Passo 8

Aplicando isso, temos:
Como estamos calculando um volume definido, não precisamos considerar a constante .

Passo 9

Vamos avaliar a integral de a :

Passo 10

Multiplicando pelo da fórmula original:

Resposta

O volume do sólido gerado é .

Exercícios relacionados

Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas , e em torno de:
(a)
Resolva as inequações:
(i) .
Mostre que a área da elipse é . (Sugestão: calcule um quarto dessa área, obtendo a área delimitada pelos eixos coordenados e a curva no primeiro quadrante.)
Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta:
(a) .