Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
,
e
em torno de:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
,
,
e
em torno de
. Isso está relacionado ao cálculo de volumes por rotação, usando o método dos discos ou cilindros. Vamos precisar entender como aplicar a integração para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. As curvas
e
(que é o eixo
) entre
e
formam uma área que, ao girar em torno do eixo
, cria um sólido de revolução.
Passo 3
Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método dos discos. Esse método envolve dividir o sólido em infinitos discos finos, calcular o volume de cada disco e somar todos esses volumes através de uma integral.
Passo 4
A fórmula do volume pelo método dos discos é:
Aqui,
representa a função que está sendo girada, e
e
são os limites de integração.
Passo 5
No nosso caso,
, e os limites de integração são de
a
. Então, substituindo na fórmula:
Passo 6
Vamos simplificar
. Sabemos que
elevado ao quadrado é
. Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral
. A integral de
é
, onde
é uma constante.
Passo 8
Aplicando isso, temos:
Como estamos calculando um volume definido, não precisamos considerar a constante
.
Passo 9
Vamos avaliar a integral de
a
:
Passo 10
Multiplicando pelo
da fórmula original:
Resposta
O volume do sólido gerado é
.