Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta:
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa descobrir se a integral de 0 a 4 da função de é igual a . Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de integração de funções racionais e aplicar a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o integrando . Notamos que o denominador é uma função quadrática , cuja derivada é . A presença de no numerador sugere que a substituição pode simplificar a integral.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Então, calculamos a derivada de em relação a :
Isso significa que .

Passo 4

Substituindo na integral original:

Passo 5

A integral de em relação a é . Então, continuando:

Passo 6

Voltando para a variável original :

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 4:

Passo 8

Percebemos que não está definido nos números reais, o que indica que a integral não converge nesse intervalo.

Resposta

A afirmação é falsa, pois a integral de 0 a 4 de não é igual a .

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Mostre que a área da elipse é . (Sugestão: calcule um quarto dessa área, obtendo a área delimitada pelos eixos coordenados e a curva no primeiro quadrante.)
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas , e em torno de:
(b) .
Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta:
(b)
Resolva as seguintes inequações.