Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta:
(a) integral0^4 xx^2-1 d x=12 ln 15.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa descobrir se a integral de 0 a 4 da função de é igual a . Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de integração de funções racionais e aplicar a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o integrando . Notamos que o denominador é uma função quadrática , cuja derivada é . A presença de no numerador sugere que a substituição pode simplificar a integral.

Passo 3

Vamos fazer a substituição dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx . Então, calculamos a derivada de em relação a :
Isso significa que .

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral0^4 xx^2 -1 , dx = integral 1u cdot du2 = 12 integral 1u , du

Passo 5

A integral de 12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C em relação a é . Então, continuando:

Passo 6

Voltando para a variável original 12 ln|x^2 -1| + C :

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 4:
12 [ ln(4^2 -1) - ln(0^2 -1) ] = 12 [ ln15 - ln(-1) ]

Passo 8

Percebemos que não está definido nos números reais, o que indica que a integral não converge nesse intervalo.

Resposta

A afirmação é falsa, pois a integral de 0 a 4 de não é igual a .

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