Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por
e
, em torno da reta
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é calcular o volume de um sólido que é formado quando a área delimitada pelas curvas
e
gira em torno da reta
. Vamos usar cálculo integral para isso, especificamente o método dos discos ou anéis, que ajuda a encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Igualando
e
(a partir de
), temos:
Resolvendo essa equação:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar qual método usar. Como a rotação é em torno de uma reta vertical
, o método dos anéis (ou discos com void) é mais apropriado. Esse método considera a diferença entre duas funções em relação ao eixo de rotação para calcular o volume.
Passo 4
Precisamos expressar as funções em termos de
e calcular as distâncias delas até a reta
. A fórmula do volume pelo método dos anéis é:
Onde:
-
é a distância da curva de cima até . -
é a distância da curva de baixo até .
Aqui,e .
A distância horizontal de uma função
até
é
.
Para as funções:
- A curva de cima é
. - A curva de baixo é
.
Passo 5
Vamos montar a integral:
Mas percebemos que isso não está correto. Precisamos reconsiderar quais funções estão mais afastadas de
. Na verdade, ao girar em torno de
, ambas as curvas estão sendo usadas para calcular a área entre elas.
Vamos então calcular:
Parece que houve um erro. Na verdade, a diferença entre as distâncias das duas curvas até a reta de rotação deve ser considerada. Vamos ajustar:
A distância para a curva superior:
E para a curva inferior:
Isso indica que ambas as curvas estão na mesma distância, o que não faz sentido. Vamos corrigir a abordagem usando a diferença vertical entre as curvas.
Na verdade, para rotações em torno de uma reta vertical, é mais adequado usar o método de cascas cilíndricas. A fórmula é:
Onde:
- A distância até a reta
é . - A altura da casca é a diferença entre as funções:
.
Então, a integral fica:
Resposta
Calculando a integral:
Integrando termo a termo:
Calculando de 0 a 3:
Portanto, o volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine o rotacional e o divergente do campo indicado:
a)
Usando integrais, determine o volume da pirâmide regular com altura
e base quadrada de lado
.
Considere o sólido obtido pela revolução da região interior de um hexágono regular inscrito na circunferência
, em torno do eixo
. Calcule o volume desse sólido.
Considere a curva definida por
Sendo
o centróide da curva, encontre
.