Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por e , em torno da reta .

Passo 1

Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é calcular o volume de um sólido que é formado quando a área delimitada pelas curvas e gira em torno da reta . Vamos usar cálculo integral para isso, especificamente o método dos discos ou anéis, que ajuda a encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Igualando e (a partir de ), temos:
Resolvendo essa equação:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar qual método usar. Como a rotação é em torno de uma reta vertical , o método dos anéis (ou discos com void) é mais apropriado. Esse método considera a diferença entre duas funções em relação ao eixo de rotação para calcular o volume.

Passo 4

Precisamos expressar as funções em termos de e calcular as distâncias delas até a reta . A fórmula do volume pelo método dos anéis é:
Onde:
  • é a distância da curva de cima até .
  • é a distância da curva de baixo até .
    Aqui, e .
A distância horizontal de uma função até é .
Para as funções:
  • A curva de cima é .
  • A curva de baixo é .

Passo 5

Vamos montar a integral:
Mas percebemos que isso não está correto. Precisamos reconsiderar quais funções estão mais afastadas de . Na verdade, ao girar em torno de , ambas as curvas estão sendo usadas para calcular a área entre elas.
Vamos então calcular:
Parece que houve um erro. Na verdade, a diferença entre as distâncias das duas curvas até a reta de rotação deve ser considerada. Vamos ajustar:
A distância para a curva superior:
E para a curva inferior:
Isso indica que ambas as curvas estão na mesma distância, o que não faz sentido. Vamos corrigir a abordagem usando a diferença vertical entre as curvas.
Na verdade, para rotações em torno de uma reta vertical, é mais adequado usar o método de cascas cilíndricas. A fórmula é:
âé
Onde:
  • A distância até a reta é .
  • A altura da casca é a diferença entre as funções: .
Então, a integral fica:

Resposta

Calculando a integral:
Integrando termo a termo:
Calculando de 0 a 3:
Portanto, o volume do sólido é unidades cúbicas.

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a)
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Considere a curva definida por
Sendo o centróide da curva, encontre .