Considere o sólido obtido pela revolução da região interior de um hexágono regular inscrito na circunferência
, em torno do eixo
. Calcule o volume desse sólido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido que é formado ao girar a região dentro de um hexágono regular inscrito na circunferência
em torno do eixo
. Aqui, estamos lidando com geometria espacial e cálculo de volumes por revolução. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre circunferências, polígonos regulares (nesse caso, o hexágono) e métodos de cálculo de volumes, como o método dos discos ou cascas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a circunferência dada:
. Essa é a equação de uma circunferência com centro em
e raio
. O hexágono regular está inscrito nessa circunferência, o que significa que todos os seus vértices estão sobre ela.
Passo 3
Em um hexágono regular, todos os lados e ângulos são iguais. Como ele está inscrito em uma circunferência de raio 2, cada lado do hexágono mede
. Mas para calcular o volume, precisamos pensar na área que está sendo girada.
Passo 4
Vamos usar o Método dos Discos, que é uma técnica de integração para encontrar volumes de sólidos de revolução. A ideia é dividir a região em pequenos discos perpendiculares ao eixo de rotação, calcular a área de cada disco e somar esses volumes infinitesimais.
Passo 5
Primeiro, precisamos encontrar uma função que descreva a borda superior e inferior do hexágono. Porém, como o hexágono tem 6 lados iguais, vamos usar simetria e calcular o volume para uma seção e depois multiplicar por 6.
Passo 6
Vamos parametrizar a circunferência. Em coordenadas polares, os vértices do hexágono estão a cada
. Assim, podemos expressar os vértices como:
onde
.
Passo 7
Para simplificar, vamos considerar uma das seis seções triangulares que formam o hexágono e calcular o volume dessa seção ao girar em torno do eixo
. Depois, multiplicaremos por 6 para obter o volume total.
Passo 8
Usando o Teorema de Pappus, que diz que o volume de um sólido de revolução é a área da região girada multiplicada pela distância percorrida pelo seu centro de massa, podemos facilitar nossos cálculos.
Passo 9
Primeiro, calculamos a área de um triângulo que forma a seção do hexágono. Um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros. A área de um triângulo equilátero de lado 1 é:
Então, a área do hexágono é:
Passo 10
Agora, precisamos encontrar o centro de massa do hexágono. Como o hexágono é regular e simétrico, o centro de massa coincide com o centro da circunferência, ou seja,
. A distância desse centro até o eixo
é:
Passo 11
Aplicando o Teorema de Pappus, o volume
é dado por:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por
e
, em torno da reta
.
Determine o rotacional e o divergente do campo indicado:
a)
Considere a curva definida por
Sendo
o centróide da curva, encontre
.
Um arco de circunferência mede 300 graus e seu comprimento é 2 km . * 5 pontos Qual o número inteiro mais próximo da medida do raio, em metros?
○ 157
○ 284
○ 628
○ 764
○ 382
Outro:
○ 157
○ 284
○ 628
○ 764
○ 382
Outro: