Determine o rotacional e o divergente do campo indicado:
F(x, y, z)=x^2 sen(yz) i+zcos(xz) j+ye^5 x k R: a) rot(F)=(x-y, x-y, 0) ; divF=2 z

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um campo vetorial F(x, y, z) = x^2 sin(yz) , i + z cos(xz) , j + y e^5x , k definido por:
E precisamos determinar o rotacional ( ) e o divergente ( ) desse campo. Para isso, vamos precisar usar as definições de rotacional e divergente, que são operações do cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente de nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . O divergente de um campo vetorial Fx = x^2 sin(yz) partial Fxpartial x = 2x sin(yz) é dado por:
Fy = z cos(xz) partial Fypartial y = 0 (pois não há y em Fy)
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Fz = y e^5x partial Fzpartial z = 0 (pois não há z em Fz) :
nabla cdot F = 2x sin(yz) + 0 + 0 = 2x sin(yz)
  1. :
ãá
  1. :
ãá
Somando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k . O rotacional de um campo vetorial Fz = y e^5x partial Fzpartial y = e^5x Fy = z cos(xz) partial Fypartial z = cos(xz) - x z sin(xz) é dado por:
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = e^5x - (cos(xz) - x z sin(xz)) = e^5x - cos(xz) + x z sin(xz)
Vamos calcular cada componente:
  1. Fx = x^2 sin(yz) partial Fxpartial z = x^2 y cos(yz) Fz = y e^5x partial Fzpartial x = 5y e^5x e partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = x^2 y cos(yz) - 5y e^5x :
Fy = z cos(xz) partial Fypartial x = -z^2 sin(xz) Fx = x^2 sin(yz) partial Fxpartial y = x^2 z cos(yz)
Então, a componente partial Fypartial x - partial Fxpartial y = -z^2 sin(xz) - x^2 z cos(yz) fica:
  1. e :
Então, a componente fica:
  1. e :
Então, a componente fica:

Resposta

O rotacional de nabla times F = ( e^5x - cos(xz) + x z sin(xz) ) i + ( x^2 y cos(yz) - 5y e^5x ) j + ( -z^2 sin(xz) - x^2 z cos(yz) ) k é:
nabla cdot F = 2x sin(yz)
E o divergente de é:

Exercícios relacionados