Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida pelas funções paramétricas e , onde varia de a . O que queremos encontrar é a coordenada do centróide dessa curva.
Aqui, vamos utilizar conceitos de cálculo integral para determinar o centróide, especificamente as fórmulas para calcular as coordenadas do centróide de uma curva parametrizada. Vamos precisar lembrar dessas fórmulas e saber como integrá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula para encontrar a coordenada do centróide de uma curva parametrizada:
Aqui, e são os limites do parâmetro , que nesse caso vão de a .
Vamos calcular as derivadas e primeiro.
Passo 3
Calculando :
Calculando :
Passo 4
Agora, vamos calcular :
Podemos fatorar :
Então, a expressão sob a raiz simplifica para .
Passo 5
Agora, substituímos tudo na fórmula da :
Podemos simplificar os 3’s:
Passo 6
Vamos resolver o denominador primeiro:
Podemos usar a substituição , então . Quando , e quando , .
A integral fica:
Passo 7
Agora, vamos resolver o numerador:
Usamos a mesma substituição , . Os limites continuam de 0 a 1.
A integral fica:
Passo 8
Finalmente, substituímos os resultados no cálculo de :