Considere a curva definida por
Sendo o centróide da curva, encontre .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida pelas funções paramétricas e , onde varia de a . O que queremos encontrar é a coordenada do centróide dessa curva.
Aqui, vamos utilizar conceitos de cálculo integral para determinar o centróide, especificamente as fórmulas para calcular as coordenadas do centróide de uma curva parametrizada. Vamos precisar lembrar dessas fórmulas e saber como integrá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para encontrar a coordenada do centróide de uma curva parametrizada:
Aqui, e são os limites do parâmetro , que nesse caso vão de a .
Vamos calcular as derivadas e primeiro.

Passo 3

Calculando :
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Podemos fatorar :
Então, a expressão sob a raiz simplifica para .

Passo 5

Agora, substituímos tudo na fórmula da :
Podemos simplificar os 3’s:

Passo 6

Vamos resolver o denominador primeiro:
Podemos usar a substituição , então . Quando , e quando , .
A integral fica:

Passo 7

Agora, vamos resolver o numerador:
Usamos a mesma substituição , . Os limites continuam de 0 a 1.
A integral fica:

Passo 8

Finalmente, substituímos os resultados no cálculo de :

Resposta

O centróide da curva tem coordenada .

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Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por e , em torno da reta .
Um arco de circunferência mede 300 graus e seu comprimento é 2 km . * 5 pontos Qual o número inteiro mais próximo da medida do raio, em metros?
○ 157
○ 284
○ 628
○ 764
○ 382
Outro:
Faça o gráfico de alguns vetores representativos do campo vetorial indicado: