Considere a curva definida por
x(t) = cos(t)^3 e y(t) = sen(t)^3, 0 <= t <= pi/2
Sendo x̄, ȳ o centróide da curva, encontre y_bar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida pelas funções paramétricas e , onde varia de a . O que queremos encontrar é a coordenada do centróide dessa curva.
Aqui, vamos utilizar conceitos de cálculo integral para determinar o centróide, especificamente as fórmulas para calcular as coordenadas do centróide de uma curva parametrizada. Vamos precisar lembrar dessas fórmulas e saber como integrá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para encontrar a coordenada do centróide de uma curva parametrizada:
Aqui, e são os limites do parâmetro , que nesse caso vão de a .
Vamos calcular as derivadas e primeiro.

Passo 3

Calculando :
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Podemos fatorar :
Então, a expressão sob a raiz simplifica para .

Passo 5

Agora, substituímos tudo na fórmula da :
Podemos simplificar os 3’s:

Passo 6

Vamos resolver o denominador primeiro:
Podemos usar a substituição , então . Quando , e quando , .
A integral fica:

Passo 7

Agora, vamos resolver o numerador:
Usamos a mesma substituição , . Os limites continuam de 0 a 1.
A integral fica:

Passo 8

Finalmente, substituímos os resultados no cálculo de :

Resposta

O centróide da curva tem coordenada .

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