Usando integrais, determine o volume da pirâmide regular com altura e base quadrada de lado .

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma pirâmide regular com altura e uma base quadrada onde cada lado mede . O conteúdo da matéria está relacionado ao cálculo de volumes usando integrais. Para resolver, vamos precisar entender como expressar a área de uma seção transversal da pirâmide em termos de uma variável e depois integrar essa área ao longo da altura da pirâmide.

Passo 2

Vamos começar visualizando a pirâmide. Como a base é um quadrado de lado 5 e a altura é 9, podemos imaginar que a pirâmide se afunila uniformemente até o topo.

Passo 3

Para calcular o volume usando integrais, precisamos determinar a área da seção transversal em um ponto a uma altura da base. Vamos chamar essa altura de , onde varia de 0 (base) a 9 (topo).

Passo 4

A cada altura , a pirâmide se reduz proporcionalmente. O lado do quadrado na seção transversal a essa altura será uma fração do lado da base. Essa fração é dada por , onde . Então, o lado da seção transversal em altura é:

Passo 5

A área da seção transversal a essa altura é o quadrado de :

Passo 6

Agora, o volume da pirâmide é a integral da área de a :

Passo 7

Vamos calcular essa integral termo a termo:
Calculando cada integral:

Passo 8

Substituindo os resultados na expressão original:

Resposta

O volume da pirâmide é unidades cúbicas.

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Determine o rotacional e o divergente do campo indicado:
Dentre as alternativas abaixo, qual representa o par de retas tangente e normal à curva
(a) e
(b) e
© e
(d) e
(e) e
Determine o rotacional e o divergente do campo indicado:
a)
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por e , em torno da reta .