Usando integrais, determine o volume da pirâmide regular com altura e base quadrada de lado .
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma pirâmide regular com altura e uma base quadrada onde cada lado mede . O conteúdo da matéria está relacionado ao cálculo de volumes usando integrais. Para resolver, vamos precisar entender como expressar a área de uma seção transversal da pirâmide em termos de uma variável e depois integrar essa área ao longo da altura da pirâmide.
Passo 2
Vamos começar visualizando a pirâmide. Como a base é um quadrado de lado 5 e a altura é 9, podemos imaginar que a pirâmide se afunila uniformemente até o topo.
Passo 3
Para calcular o volume usando integrais, precisamos determinar a área da seção transversal em um ponto a uma altura da base. Vamos chamar essa altura de , onde varia de 0 (base) a 9 (topo).
Passo 4
A cada altura , a pirâmide se reduz proporcionalmente. O lado do quadrado na seção transversal a essa altura será uma fração do lado da base. Essa fração é dada por , onde . Então, o lado da seção transversal em altura é:
Passo 5
A área da seção transversal a essa altura é o quadrado de :
Passo 6
Agora, o volume da pirâmide é a integral da área de a :