Usando integrais, determine o volume da pirâmide regular com altura h = 9 e base quadrada de lado ℓ = 5.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma pirâmide regular com altura e uma base quadrada onde cada lado mede . O conteúdo da matéria está relacionado ao cálculo de volumes usando integrais. Para resolver, vamos precisar entender como expressar a área de uma seção transversal da pirâmide em termos de uma variável e depois integrar essa área ao longo da altura da pirâmide.

Passo 2

Vamos começar visualizando a pirâmide. Como a base é um quadrado de lado 5 e a altura é 9, podemos imaginar que a pirâmide se afunila uniformemente até o topo.

Passo 3

Para calcular o volume usando integrais, precisamos determinar a área da seção transversal em um ponto a uma altura y da base. Vamos chamar essa altura de y, onde y varia de 0 (base) a 9 (topo).

Passo 4

A cada altura y, a pirâmide se reduz proporcionalmente. O lado do quadrado na seção transversal a essa altura será uma fração do lado da base. Essa fração é dada por , onde . Então, o lado da seção transversal em altura y é:

Passo 5

A área da seção transversal a essa altura y é o quadrado de :

Passo 6

Agora, o volume da pirâmide é a integral da área de a :

Passo 7

Vamos calcular essa integral termo a termo:
Calculando cada integral:

Passo 8

Substituindo os resultados na expressão original:

Resposta

O volume da pirâmide é unidades cúbicas.

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