Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , dos gráficos das funções dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado quando a curva da função gira em torno do eixo , no intervalo de a . Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, que ajuda a encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método dos discos. Imagine que a curva é cortada em pequenas fatias finas, perpendiculares ao eixo . Cada fatia forma um disco quando a curva gira em torno do eixo. O volume de cada disco é dado por . Aqui, o raio de cada disco é e a espessura é . Então, o volume de um pequeno disco é .
Passo 3
Agora, para encontrar o volume total do sólido, precisamos somar os volumes de todos esses discos desde até . Isso é feito através de uma integral definida:
Substituindo pela função dada:
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos aproveitar a simetria da função. Como é uma função par (ou seja, é simétrica em relação ao eixo ), podemos calcular a integral de 0 a e depois multiplicar por 2: