(d) lim x +infty raizxraizx+raizx+raizx.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando vai para mais infinito da função . Esse problema é de Cálculo de Limites, mais especificamente lidando com funções que têm raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão dentro do limite e entender como as raízes se comportam quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador: . Quando é muito grande, as raízes internas também são grandes, mas comparadas a , elas são menores. Então, podemos tentar simplificar essa expressão assumindo que as raízes internas são pequenas em comparação com .

Passo 3

Vamos fatorar raizx + raizx + raizx = raizx (1 + raizx + raizxx) de dentro das raízes para facilitar. Observe que:
Como está indo para infinito, o termo vai se aproximar de zero, porque a raiz de cresce mais devagar que mesmo.

Passo 4

Usando essa observação, podemos aproximar:
raizx + raizx + raizx approx raizx (1 + 0) = raizx
Então, o denominador simplifica para quando é muito grande.

Passo 5

Agora, substituímos essa simplificação na expressão original do limite:
limx +infty raizxraizx = limx +infty 1 = 1

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

(h) lim n +infty(1+1n)^n+3.
Demonstre a fórmula, onde m e n são inteiros positivos:
integral-pi^pi sin (m x) cos (n x) d x=0
Dica: use as identidades
sin a cos b & =12[sin (a+b)+sin (a-b)] cos a cos b & =12[cos (a+b)+cos (a-b)] sin a sin b & =12[cos (a-b)-cos (a+b)]
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, dos gráficos das funções dadas: f(x) = raiz(R^2 - x^2), -R <= x <= R (R > 0)
® lim x +infty sen(3 x)5 x.