Chegue à formula de volume utilizando Somas de Riemann e cascas cilíndricas:
para o sólido gerado pela rotação em torno do eixo y da região delimitada pela curva
e o eixo
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício que pede para encontrar a fórmula do volume de um sólido gerado quando a gente gira uma região delimitada pela curva
e o eixo
ao redor do eixo
. A matéria que vamos usar para resolver isso são as Somas de Riemann e o método das cascas cilíndricas. Basicamente, vamos dividir a área em fatias fininhas, calcular o volume de cada fatia quando girada e depois somar tudo isso usando uma integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as Somas de Riemann. Elas são uma maneira de aproximar a área sob uma curva dividindo essa área em retângulos ou, nesse caso, em elementos de volume. Como estamos girando em torno do eixo
, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é perfeito para esse tipo de rotação.
Passo 3
Imagine que a gente tem uma pequena fatia vertical da região, entre
e
. Quando giramos essa fatia em torno do eixo
, ela forma uma casca cilíndrica. A altura dessa casca é dada por
, que é o valor da função naquele ponto. O raio da casca é simplesmente a distância até o eixo
, que é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o volume dessa casca. A fórmula do volume de um cilindro é
, onde
é o raio e
é a altura. No nosso caso,
e
, então o volume da casca fica:
Aqui,
é a largura da fatia.
Passo 5
Para encontrar o volume total do sólido, a gente precisa somar o volume de todas essas cascas desde
até
. Quando o tamanho das fatias
tende a zero, essa soma se transforma em uma integral. Portanto, a fórmula geral para o volume
é:
Resposta
A fórmula do volume é
.
Exercícios relacionados
®
.
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, dos gráficos das funções dadas:
(w)
.
Considere o PVI, dado a seguir: