Chegue à formula de volume utilizando Somas de Riemann e cascas cilíndricas: V=integrala^b 2 pi x f(x) d x para o sólido gerado pela rotação em torno do eixo y da região delimitada pela curva f(x) e o eixo x.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício que pede para encontrar a fórmula do volume de um sólido gerado quando a gente gira uma região delimitada pela curva e o eixo ao redor do eixo . A matéria que vamos usar para resolver isso são as Somas de Riemann e o método das cascas cilíndricas. Basicamente, vamos dividir a área em fatias fininhas, calcular o volume de cada fatia quando girada e depois somar tudo isso usando uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as Somas de Riemann. Elas são uma maneira de aproximar a área sob uma curva dividindo essa área em retângulos ou, nesse caso, em elementos de volume. Como estamos girando em torno do eixo , vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é perfeito para esse tipo de rotação.

Passo 3

Imagine que a gente tem uma pequena fatia vertical da região, entre e . Quando giramos essa fatia em torno do eixo , ela forma uma casca cilíndrica. A altura dessa casca é dada por , que é o valor da função naquele ponto. O raio da casca é simplesmente a distância até o eixo , que é .

Passo 4

Agora, vamos calcular o volume dessa casca. A fórmula do volume de um cilindro é De, onde é o raio e é a altura. No nosso caso, e , então o volume da casca fica:
Aqui, é a largura da fatia.

Passo 5

Para encontrar o volume total do sólido, a gente precisa somar o volume de todas essas cascas desde V = integrala^b 2pi x f(x) , dx até . Quando o tamanho das fatias tende a zero, essa soma se transforma em uma integral. Portanto, a fórmula geral para o volume é:

Resposta

A fórmula do volume é .

Exercícios relacionados

® lim x +infty sen(3 x)5 x.
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, dos gráficos das funções dadas: f(x) = raiz(R^2 - x^2), -R <= x <= R (R > 0)
(w) lim x 0(sen(2 x)x)^1+x^2.
Considere o PVI, dado a seguir:
{x^2 - 1} dy/dx + x y = 5 x y(2) = 3