(h)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o limite quando
vai para mais infinito de
. Esse problema está relacionado ao cálculo de limites e, mais especificamente, envolve a famosa constante matemática
. Para resolver, vamos precisar entender como as expressões na forma
se comportam quando
cresce sem limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante:
, onde
é aproximadamente 2,71828. Essa expressão é uma das definições clássicas da constante
. Agora, nosso desafio é lidar com o expoente
em vez de apenas
.
Passo 3
Vamos reescrever a expressão original para separar o expoente
em duas partes:
Agora, sabemos que
tende a
quando
vai para mais infinito. E quanto a
?
Passo 4
Vamos analisar
. Quando
cresce muito,
fica muito pequeno, praticamente zero. Então,
tende a
.
Passo 5
Agora, juntando tudo:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Demonstre a fórmula, onde m e n são inteiros positivos:
Dica: use as identidades
A região entre as curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante:
; em torno do eixo y
(d)
.
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, dos gráficos das funções dadas: