Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, dos gráficos das funções dadas:
Passo 1
Então, a gente tem que calcular o volume do sólido que forma quando a curva
gira em torno do eixo
, no intervalo de
. Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, que é ótimo para esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o volume de um sólido de rotação usando o método dos discos. A fórmula é:
Aqui,
é a função que está sendo girada, e
e
são os limites do intervalo.
Passo 3
No nosso caso, a função
é
, e os limites são de
a
. Então, substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral de
. A antiderivada de
é:
Como estamos avaliando uma integral definida, não precisamos da constante
. Assim, substituindo os limites:
Passo 6
Vamos calcular
:
Então:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
(a)
.
É verdadeiro ou falso?
Para todo temos
.
Para todo
É verdadeiro ou falso?
Se então
para todo
.
Se
Esboce o gráfico da função
responda as seguintes questões: