(a) lim x +infty(x-1x+3)^x+2.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite quando tende ao infinito de . Esse problema envolve Cálculo de Limites e Funções Exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões exponenciais e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do expoente. Observamos que, para x-1x+3 approx xx = 1 muito grande, os termos de menor grau (como -1 e +3) têm pouca influência. Então, podemos aproximar:
Mas isso apenas nos dá uma ideia inicial. Para calcular o limite com mais precisão, vamos reescrever a expressão de uma forma que facilite a aplicação de propriedades dos logaritmos.

Passo 3

Vamos usar a propriedade de que (x-1x+3)^x+2 = e^(x+2) cdot ln(x-1x+3) . Aplicando isso à nossa expressão:
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite do expoente quando tende ao infinito.

Passo 4

Vamos calcular o limite de x-1x+3 = x(1 - 1x)x(1 + 3x) = 1 - 1x1 + 3x quando 1 - 01 + 0 = 1 vai para o infinito. Primeiro, simplificamos a fração dentro do logaritmo:
Quando tende ao infinito, e tendem a zero, então:
Então, tende a .

Passo 5

Para encontrar o comportamento de ln(1 + y) approx y quando y é pequeno quando ln(x-1x+3) approx -4x+3 tende ao infinito, podemos usar uma aproximação do logaritmo para valores próximos de 1:
é
Aqui, , então:

Passo 6

Substituindo essa aproximação no nosso limite:
(x+2) cdot ln(x-1x+3) approx (x+2) cdot (-4x+3)
Simplificando:
(x+2) cdot -4x+3 = -4 cdot x+2x+3

Passo 7

Agora, calculamos o limite de limx to infty -4 cdot x+2x+3 = -4 cdot limx to infty x+2x+3 = -4 cdot 1 = -4 quando tende ao infinito:

Passo 8

Voltando à expressão original, temos:
limx to infty (x-1x+3)^x+2 = e^limx to infty (x+2) cdot ln(x-1x+3) = e^-4

Resposta

O limite é .

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