(a)
.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular o limite quando
tende ao infinito de
. Esse problema envolve Cálculo de Limites e Funções Exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões exponenciais e aplicar propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do expoente. Observamos que, para
muito grande, os termos de menor grau (como -1 e +3) têm pouca influência. Então, podemos aproximar:
Mas isso apenas nos dá uma ideia inicial. Para calcular o limite com mais precisão, vamos reescrever a expressão de uma forma que facilite a aplicação de propriedades dos logaritmos.
Passo 3
Vamos usar a propriedade de que
. Aplicando isso à nossa expressão:
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite do expoente quando
tende ao infinito.
Passo 4
Vamos calcular o limite de
quando
vai para o infinito. Primeiro, simplificamos a fração dentro do logaritmo:
Quando
tende ao infinito,
e
tendem a zero, então:
Então,
tende a
.
Passo 5
Para encontrar o comportamento de
quando
tende ao infinito, podemos usar uma aproximação do logaritmo para valores próximos de 1:
Aqui,
, então:
Passo 6
Substituindo essa aproximação no nosso limite:
Simplificando:
Passo 7
Agora, calculamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Passo 8
Voltando à expressão original, temos:
Resposta
O limite é
.
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É verdadeiro ou falso?
Para todo temos
.
Para todo
Considere o PVI, dado a seguir:
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, dos gráficos das funções dadas:
É verdadeiro ou falso?
Se então
para todo
.
Se