É verdadeiro ou falso?
Para todo x in R temos e^x=sumn=0^+infty x^nn!, sen x=sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!, cos x=sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n(2 n)!.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se as seguintes igualdades são verdadeiras para todo número real e^x = sumn=0^+infty x^nn!, sen x = sumn=0^+infty(-1)^n x^2n+1(2n+1)!, cos x = sumn=0^+infty(-1)^n x^2n(2n)! :
Vamos analisar cada parte para ver se essas expressões realmente representam as funções exponencial, seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são séries de potências. Uma série de potências é uma soma infinita onde cada termo é um múltiplo de uma potência de . No caso, estamos falando de séries infinitas que representam funções conhecidas.

Passo 3

Vamos começar com a função exponencial e^x = sumn=0^+infty x^nn! . A série dada é:
Essa é a conhecida série de Taylor para centrada em 0 (chamada de série de Maclaurin). Ela é válida para todo e converge para . Então, essa parte está correta.

Passo 4

Agora, vamos para a função seno . A série apresentada é:
Essa também é a série de Maclaurin para o seno. Cada termo alterna de sinal devido ao sen x = sumn=0^+infty(-1)^n x^2n+1(2n+1)! e envolve apenas potências ímpares de . Além disso, os denominadores são os fatoriais dos expoentes. Esta série converge para para todo , então está correta.

Passo 5

Por último, a função cosseno cos x = sumn=0^+infty(-1)^n x^2n(2n)! tem a série:
Assim como a série do seno, esta é a série de Maclaurin para o cosseno. Os sinais também alternam devido ao , mas aqui temos apenas potências pares de . Os denominadores são os fatoriais dos expoentes pares. Esta série também converge para para todo , confirmando sua veracidade.

Resposta

Verdadeiro.

Exercícios relacionados

Considere o PVI, dado a seguir:
{x^2 - 1} dy/dx + x y = 5 x y(2) = 3
(w) lim x 0(sen(2 x)x)^1+x^2.
(a) lim x +infty(x-1x+3)^x+2.
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, dos gráficos das funções dadas: y = x^2, 0 <= x < 1/2