É verdadeiro ou falso?
Para todo
temos
.
Para todo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se as seguintes igualdades são verdadeiras para todo número real
:
Vamos analisar cada parte para ver se essas expressões realmente representam as funções exponencial, seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são séries de potências. Uma série de potências é uma soma infinita onde cada termo é um múltiplo de uma potência de
. No caso, estamos falando de séries infinitas que representam funções conhecidas.
Passo 3
Vamos começar com a função exponencial
. A série dada é:
Essa é a conhecida série de Taylor para
centrada em 0 (chamada de série de Maclaurin). Ela é válida para todo
e converge para
. Então, essa parte está correta.
Passo 4
Agora, vamos para a função seno . A série apresentada é:
Essa também é a série de Maclaurin para o seno. Cada termo alterna de sinal devido ao
e envolve apenas potências ímpares de
. Além disso, os denominadores são os fatoriais dos expoentes. Esta série converge para para todo
, então está correta.
Passo 5
Por último, a função cosseno
tem a série:
Assim como a série do seno, esta é a série de Maclaurin para o cosseno. Os sinais também alternam devido ao
, mas aqui temos apenas potências pares de
. Os denominadores são os fatoriais dos expoentes pares. Esta série também converge para
para todo
, confirmando sua veracidade.
Resposta
Verdadeiro.
Exercícios relacionados
Considere o PVI, dado a seguir:
(w)
.
(a)
.
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, dos gráficos das funções dadas: