Vamos dar uma olhada na questão: Temos uma função definida por partes onde, para , e . A pergunta é se todas as derivadas dessa função em são iguais a zero para qualquer ordem . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas de funções definidas por partes e sobre funções suaves (que têm derivadas de todas as ordens).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que todas as derivadas em sejam zero. Isso quer dizer que, se você calcular a primeira derivada , a segunda , e assim por diante, todas essas derivadas vão resultar em zero.
Passo 3
A função dada, para e , é conhecida por ser uma função suave em . Isso significa que ela é infinitamente diferenciável em todos os pontos, inclusive em .
Passo 4
Para encontrar as derivadas de em , usamos a definição de derivada. No caso dessa função, graças à sua construção especial, quando calculamos as derivadas em , acabamos sempre multiplicando por termos que tendem a zero muito rapidamente, fazendo com que todas as derivadas de qualquer ordem em sejam zero.
Passo 5
Isso ocorre porque, embora a função seja extremamente “pico” em torno de , a exponencial negativa impede que as derivadas cresçam de forma a gerar valores diferentes de zero.
Resposta
Verdadeiro. Todas as derivadas de em são iguais a zero para todo .