Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, dos gráficos das funções dadas: f(x) = (e^x + e^(-x)) / 2, -1 <= x <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume do sólido que surge quando a função , no intervalo de a , é girada em torno do eixo . Isso faz parte do estudo de Cálculo, especificamente do tópico sobre volumes de sólidos de revolução. Para resolver, vamos precisar usar o método dos discos, que envolve integrar a área das “fatias” circulares ao longo do intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método dos discos. Quando giramos uma curva em torno do eixo , cada pequeno pedaço da curva forma um disco com raio igual a . A área de cada disco é , e ao integrar essa área ao longo do intervalo de a , obtemos o volume total.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula do método dos discos para nosso caso:
Substituindo pela função dada:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Podemos fatorar o para facilitar:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 6

Integrando termo a termo:
Aplicando os limites de integração de a :

Passo 7

Vamos calcular os valores nas extremidades:
Para :
Para :

Passo 8

Subtraindo o valor em de :

Passo 9

Multiplicando pela constante fora da integral:

Resposta

O volume do sólido de revolução é .

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