Encontre
onde:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada de
em relação a
, onde
. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente usando a regra da derivada. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e conhecer as derivadas das funções que aparecem na expressão de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é uma função de
, e
é uma função de
. Isso significa que para encontrar
, precisamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que:
Então, nosso primeiro passo é encontrar
.
Passo 3
Vamos derivar
em relação a
:
Vamos derivar cada termo separadamente.
Para o primeiro termo,
, usamos a regra do produto:
A derivada de
é:
Então, substituindo de volta:
Para o segundo termo,
, sabemos que a derivada é:
Passo 4
Agora, juntando as derivadas dos dois termos:
Vamos simplificar isso. Colocando os termos com denominador comum:
Podemos escrever
como
para ter o mesmo denominador:
Passo 5
Então, temos:
Agora, lembrando da regra da cadeia:
Substituindo:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
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onde:
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onde:
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, dos gráficos das funções dadas:
Encontre
onde: