Encontre
onde:
Passo 1
Beleza! A gente precisa encontrar a derivada de
em relação a
, onde
. Isso envolve estudo de funções inversas e suas derivadas. Vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer a derivada da função arccosec.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a função inversa da cosecante. A derivada de
em relação a
é:
Nesse caso,
.
Passo 3
Agora, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
será a derivada de
multiplicada pela derivada de
em relação a
.
Passo 4
Calculando
, onde
:
Passo 5
Substituindo
na derivada de
:
Passo 6
Agora, multiplicamos pelas derivadas encontradas:
Passo 7
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, substituindo de volta: