Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta , da região limitada por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região em torno da reta . A região está limitada por , e . Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis, que é ótimo para calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender bem a região que estamos girando. Temos três limites:
  1. A curva .
  2. A reta horizontal .
  3. A reta vertical .
Vamos esboçar isso para visualizar. A curva é uma hipérbole que se aproxima dos eixos, mas nunca os toca. A reta é uma linha horizontal acima dessa curva, e é uma linha vertical que corta a curva. A região limitada por essas três é a que vamos girar em torno da reta .

Passo 3

Agora, para encontrar o volume, vamos usar o método dos discos (ou anéis). Esse método é útil quando giramos uma região em torno de uma linha horizontal ou vertical. No nosso caso, como estamos girando em torno de , que é uma reta horizontal, o m��todo dos discos é apropriado.
A fórmula geral para o volume usando o método dos discos é:
onde é o raio externo e é o raio interno do anel em cada ponto .

Passo 4

Vamos identificar e para nossa situação. A distância do eixo de rotação ( ) até a curva será:
E como a região está limitada pela própria reta , o raio interno será zero (pois não há outra curva abaixo para formar um “anel”).
Portanto, a fórmula simplificada fica:
Aqui, integramos de (onde ) até .

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Primeiro, expandimos o quadrado:
Então, a integral fica:
Agora, integramos termo a termo:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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A região , delimitada pela parábola e pelas retas e gira em torno da reta . Determine volume do sólido de revolução obtido.
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos , da região entre o gráfico de e o eixo dos , de .
A região , limitada pela curva , o eixo dos e as retas e , gira em torno do eixo dos . Determine o volume do sólido de revolução gerado. Faça um esboço do sólido.
Encontre o número que satisfaça à conclusão do Teorema do Valor Médio para a função no intervalo dado:
no intervalo