Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta
, da região limitada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região em torno da reta
. A região está limitada por
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis, que é ótimo para calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender bem a região que estamos girando. Temos três limites:
- A curva
. - A reta horizontal
. - A reta vertical
.
Vamos esboçar isso para visualizar. A curva
é uma hipérbole que se aproxima dos eixos, mas nunca os toca. A reta
é uma linha horizontal acima dessa curva, e
é uma linha vertical que corta a curva. A região limitada por essas três é a que vamos girar em torno da reta
.
Passo 3
Agora, para encontrar o volume, vamos usar o método dos discos (ou anéis). Esse método é útil quando giramos uma região em torno de uma linha horizontal ou vertical. No nosso caso, como estamos girando em torno de
, que é uma reta horizontal, o m��todo dos discos é apropriado.
A fórmula geral para o volume usando o método dos discos é:
onde
é o raio externo e
é o raio interno do anel em cada ponto
.
Passo 4
Vamos identificar
e
para nossa situação. A distância do eixo de rotação (
) até a curva
será:
E como a região está limitada pela própria reta
, o raio interno
será zero (pois não há outra curva abaixo para formar um “anel”).
Portanto, a fórmula simplificada fica:
Aqui, integramos de
(onde
) até
.
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Primeiro, expandimos o quadrado:
Então, a integral fica:
Agora, integramos termo a termo:
Calculando nos limites:
Para :
Para
Para
:
Subtraindo:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
A região
, delimitada pela parábola
e pelas retas
e
gira em torno da reta
. Determine
volume do sólido de revolução obtido.
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região entre o gráfico de
e o eixo dos
, de
.
A região
, limitada pela curva
, o eixo dos
e as retas
e
, gira em torno do eixo dos
. Determine o volume do sólido de revolução gerado. Faça um esboço do sólido.
Encontre o número
que satisfaça à conclusão do Teorema do Valor Médio para a função no intervalo dado:
no intervalo