Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região plana delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o volume de um sólido que ocorre quando giramos uma região no plano em torno do eixo
. Essa região é delimitada pelas curvas
,
(que é o eixo
) e pela linha vertical
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, uma técnica de cálculo que ajuda a encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Vamos visualizar melhor a região que vamos girar. A curva
está definida apenas para
, porque o logaritmo natural
só é real quando
é maior que 0, e especificamente,
é positivo para
. Portanto, a região que vamos girar está entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método dos discos. Esse método envolve dividir o sólido em fatias finas (discos) perpendiculares ao eixo de rotação (
nesse caso). A fórmula para o volume
usando esse método é:
Aqui,
é a função que descreve a borda da região (no nosso caso,
), e
e
são os limites de integração (
e
).
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula. Sabemos que:
Então,
. A integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral
. A antiderivada de
é:
Onde
é a constante de integração. Como vamos calcular um volume definido, não precisamos do
.
Passo 6
Aplicando os limites de integração de
a
:
Calculando para
:
E para
:
Então, a diferença é:
Passo 7
Voltando à fórmula do volume:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.
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a)
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