Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região plana delimitada pelas curvas e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o volume de um sólido que ocorre quando giramos uma região no plano em torno do eixo . Essa região é delimitada pelas curvas , (que é o eixo ) e pela linha vertical . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, uma técnica de cálculo que ajuda a encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Vamos visualizar melhor a região que vamos girar. A curva está definida apenas para , porque o logaritmo natural só é real quando é maior que 0, e especificamente, é positivo para . Portanto, a região que vamos girar está entre e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método dos discos. Esse método envolve dividir o sólido em fatias finas (discos) perpendiculares ao eixo de rotação ( nesse caso). A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui, é a função que descreve a borda da região (no nosso caso, ), e e são os limites de integração ( e ).

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula. Sabemos que:
Então, . A integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral . A antiderivada de é:
Onde é a constante de integração. Como vamos calcular um volume definido, não precisamos do .

Passo 6

Aplicando os limites de integração de a :
Calculando para :
E para :
Então, a diferença é:

Passo 7

Voltando à fórmula do volume:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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a)
Resolva as integrais contendo um trinômio :
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