Resolva as integrais contendo um trinômio :

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer resolver a integral . Esse tipo de integral envolve funções racionais, onde a gente tem um polinômio no numerador e outro no denominador. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de frações parciais e substituição. Vamos dividir isso em etapas simples para entender melhor.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: . Nosso objetivo é simplificar essa expressão para facilitar a integração. Uma boa estratégia aqui é completar o quadrado.
Completar o quadrado significa reescrever o polinômio de segunda grau de uma forma que facilita a integração, especialmente quando temos termos quadráticos.
Vamos lá:
Agora, complete o quadrado para :
Portanto,
Então, o denominador fica:

Passo 3

Agora, vamos voltar para a integral:
Com o denominador simplificado, podemos escrever:
Para resolver isso, vamos usar uma substituição inteligente. Observamos que o numerador pode ser relacionado à derivada do denominador.
Vamos chamar de o denominador:
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Mas no numerador temos . Vamos tentar expressar em termos de :
Isso nos permite reescrever a integral de uma forma que é mais fácil de integrar.

Passo 4

Substituindo na integral:
Isso separa a integral em duas partes:
A primeira parte é uma integral logarítmica, e a segunda parte vai requerer o uso de função arco-tangente devido à forma do denominador.

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente.
  1. Primeira Integral:
  1. Segunda Integral:
Voltando à expressão de :
Temos:
Para isso, vamos usar a substituição , então , ou seja, .
Substituindo:
Voltando para :

Passo 6

Agora, juntando as duas integrais resolvidas:
Substituindo novamente :
Simplificando para :

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região plana delimitada pelas curvas e .
Use integração por partes para resolver as integrais:
Resolva as integrais contendo um trinômio :
Determine se as sérics abaixo sāo convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta!
b)