Resolva as integrais contendo um trinômio a x^2+b x+c : integral (x+5) d x2 x^2+4 x+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer resolver a integral . Esse tipo de integral envolve funções racionais, onde a gente tem um polinômio no numerador e outro no denominador. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de frações parciais e substituição. Vamos dividir isso em etapas simples para entender melhor.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: 2x^2 + 4x + 3 = 2(x^2 + 2x) + 3. Nosso objetivo é simplificar essa expressão para facilitar a integração. Uma boa estratégia aqui é completar o quadrado.
Completar o quadrado significa reescrever o polinômio de segunda grau de uma forma que facilita a integração, especialmente quando temos termos quadráticos.
Vamos lá:
x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1
Agora, complete o quadrado para 2x^2 + 4x + 3 = 2((x + 1)^2 - 1) + 3 = 2(x + 1)^2 + 1:
2x^2 + 4x + 3 = 2(x + 1)^2 + 1
Portanto,
Então, o denominador fica:

Passo 3

Agora, vamos voltar para a integral:
integral (x + 5) , dx2x^2 + 4x + 3
Com o denominador simplificado, podemos escrever:
integral x + 52(x + 1)^2 + 1 , dx
Para resolver isso, vamos usar uma substituição inteligente. Observamos que o numerador u = 2(x + 1)^2 + 1 pode ser relacionado à derivada do denominador.
Vamos chamar de dudx = 4(x + 1) o denominador:
x + 5 = 14 cdot dudx + 4
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Mas no numerador temos . Vamos tentar expressar em termos de :
Isso nos permite reescrever a integral de uma forma que é mais fácil de integrar.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral x + 52(x + 1)^2 + 1 , dx = integral (14 cdot dudx + 4) cdot 1u , dx
Isso separa a integral em duas partes:
14 integral duu + 4 integral dxu
A primeira parte é uma integral logarítmica, e a segunda parte vai requerer o uso de função arco-tangente devido à forma do denominador.

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente.
  1. Primeira Integral:
14 integral duu = 14 ln|u| + C1
  1. Segunda Integral:
Voltando à expressão de u = 2(x + 1)^2 + 1:
integral dx2(x + 1)^2 + 1
Temos:
integral dz/raiz2z^2 + 1 = 1raiz2 arctan(z) + C2
Para isso, vamos usar a substituição 1raiz2 arctan(raiz2(x + 1)) + C2, então , ou seja, .
Substituindo:
Voltando para :

Passo 6

Agora, juntando as duas integrais resolvidas:
14 ln|u| + 4 cdot 1raiz2 arctan(raiz2(x + 1)) + C
Substituindo novamente 14 ln|2x^2 + 4x + 3| + 4raiz2 arctan(raiz2(x + 1)) + C:
14 ln|2x^2 + 4x + 3| + 2raiz2 arctan(raiz2(x + 1)) + C
Simplificando para :

Resposta

A integral 14 ln|2x^2 + 4x + 3| + 2raiz2 arctan(raiz2(x + 1)) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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