Resolva as integrais contendo um trinômio
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer resolver a integral
. Esse tipo de integral envolve funções racionais, onde a gente tem um polinômio no numerador e outro no denominador. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de frações parciais e substituição. Vamos dividir isso em etapas simples para entender melhor.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração:
. Nosso objetivo é simplificar essa expressão para facilitar a integração. Uma boa estratégia aqui é completar o quadrado.
Completar o quadrado significa reescrever o polinômio de segunda grau de uma forma que facilita a integração, especialmente quando temos termos quadráticos.
Vamos lá:
Agora, complete o quadrado para
:
Portanto,
Então, o denominador fica:
Passo 3
Agora, vamos voltar para a integral:
Com o denominador simplificado, podemos escrever:
Para resolver isso, vamos usar uma substituição inteligente. Observamos que o numerador
pode ser relacionado à derivada do denominador.
Vamos chamar de
o denominador:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Mas no numerador temos
. Vamos tentar expressar
em termos de
:
Isso nos permite reescrever a integral de uma forma que é mais fácil de integrar.
Passo 4
Substituindo na integral:
Isso separa a integral em duas partes:
A primeira parte é uma integral logarítmica, e a segunda parte vai requerer o uso de função arco-tangente devido à forma do denominador.
Passo 5
Vamos resolver cada integral separadamente.
- Primeira Integral:
- Segunda Integral:
Voltando à expressão de
:
Temos:
Para isso, vamos usar a substituição
, então
, ou seja,
.
Substituindo:
Voltando para
:
Passo 6
Agora, juntando as duas integrais resolvidas:
Substituindo novamente
:
Simplificando
para
:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região plana delimitada pelas curvas
e
.
Use integração por partes para resolver as integrais:
Resolva as integrais contendo um trinômio
:
Determine se as sérics abaixo sāo convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta!
b)
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