Use integração por partes para resolver as integrais: integral exp (raiz2 x+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. A matéria que estamos lidando aqui é cálculo, mais especificamente técnicas de integração. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula da integração por partes e saber identificar quais partes da nossa integral vão ser e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples ao diferenciarmos, e como a parte que conseguimos integrar facilmente.

Passo 3

Vamos definir:
u = exp (raiz2x +1)
E então, . Agora, precisamos encontrar e .

Passo 4

Para encontrar du = ddx [ exp (raiz2x +1) ] dx , vamos derivar du = exp (raiz2x +1) cdot ddx ( raiz2x +1 ) dx em relação a 12raiz2x +1 cdot 2 = 1raiz2x +1 :
du = exp (raiz2x +1) cdot 1raiz2x +1 , dx
Usando a regra da cadeia, a derivada de é . Então:
A derivada de é:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos integrar v = integral dv = integral dx = x para encontrar :

Passo 6

Agora que temos integral u , dv = u cdot v - integral v , du , integral exp (raiz2x +1) , dx = exp (raiz2x +1) cdot x - integral x cdot exp (raiz2x +1) cdot 1raiz2x +1 , dx , e , vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Simplificando a integral resultante:
integral x cdot exp (raiz2x +1)raiz2x +1 , dx
Aqui, a integral ainda parece complicada. Talvez uma substituição adicional possa simplificar. Vamos tentar deixar a expressão mais manejável.

Passo 8

Vamos tentar uma substituição para facilitar. Seja:
t = raiz2x +1 Rightarrow t^2 = 2x +1
Derivando ambos os lados em relação a 2t cdot dtdx = 2 Rightarrow dtdx = 1t Rightarrow dx = t , dt :

Passo 9

Agora, substituímos na integral:
integral x cdot exp(t)t cdot t , dt = integral x cdot exp(t) , dt
Precisamos expressar t^2 = 2x +1 Rightarrow x = t^2 -12 em termos de . Da substituição anterior:

Passo 10

Substituindo integral ( t^2 -12 ) exp(t) , dt = 12 integral (t^2 -1) exp(t) , dt na integral:
Agora, temos uma integral que podemos resolver por partes novamente.

Passo 11

Vamos resolver u = t^2 Rightarrow du = 2t , dt e dv = exp(t) , dt Rightarrow v = exp(t) separadamente.
Primeiro, para integral t^2 exp(t) , dt = t^2 exp(t) - integral 2t exp(t) , dt , usamos integração por partes duas vezes:
Primeira aplicação:
u = 2t Rightarrow du = 2 , dt
dv = exp(t) , dt Rightarrow v = exp(t)
Então:
integral 2t exp(t) , dt = 2t exp(t) - integral 2 exp(t) , dt = 2t exp(t) - 2 exp(t)
Segunda aplicação para integral t^2 exp(t) , dt = t^2 exp(t) - ( 2t exp(t) - 2 exp(t) ) = t^2 exp(t) - 2t exp(t) + 2 exp(t) :
Então:
Voltando:
Agora, para

Passo 12

Voltando à integral original:
12 ( integral t^2 exp(t) , dt - integral exp(t) , dt ) = 12 ( t^2 exp(t) - 2t exp(t) + 2 exp(t) - exp(t) ) = 12 ( t^2 exp(t) - 2t exp(t) + exp(t) )
Simplificando:
12 exp(t) (t^2 - 2t +1 )

Passo 13

Agora, substituímos 12 exp(raiz2x +1) ( (raiz2x +1)^2 - 2 raiz2x +1 +1 ) = 12 exp(raiz2x +1) (2x +1 - 2 raiz2x +1 +1 ) de volta:
2x +1 +1 - 2 raiz2x +1 = 2x +2 - 2 raiz2x +1
Simplificando dentro dos parênteses:
12 exp(raiz2x +1) (2x +2 - 2 raiz2x +1) = exp(raiz2x +1) (x +1 - raiz2x +1)
Então:

Resposta

Portanto, a integral exp(raiz2x +1) ( x +1 - raiz2x +1 ) + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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