Use integração por partes para resolver as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. A matéria que estamos lidando aqui é cálculo, mais especificamente técnicas de integração. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula da integração por partes e saber identificar quais partes da nossa integral vão ser e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples ao diferenciarmos, e como a parte que conseguimos integrar facilmente.

Passo 3

Vamos definir:
E então, . Agora, precisamos encontrar e .

Passo 4

Para encontrar , vamos derivar em relação a :
Usando a regra da cadeia, a derivada de é . Então:
A derivada de é:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos integrar para encontrar :

Passo 6

Agora que temos , , e , vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Simplificando a integral resultante:
Aqui, a integral ainda parece complicada. Talvez uma substituição adicional possa simplificar. Vamos tentar deixar a expressão mais manejável.

Passo 8

Vamos tentar uma substituição para facilitar. Seja:
Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 9

Agora, substituímos na integral:
Precisamos expressar em termos de . Da substituição anterior:

Passo 10

Substituindo na integral:
Agora, temos uma integral que podemos resolver por partes novamente.

Passo 11

Vamos resolver e separadamente.
Primeiro, para , usamos integração por partes duas vezes:
Primeira aplicação:
Então:
Segunda aplicação para :
Então:
Voltando:
Agora, para

Passo 12

Voltando à integral original:
Simplificando:

Passo 13

Agora, substituímos de volta:
Simplificando dentro dos parênteses:
Então:

Resposta

Portanto, a integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Caleule as integrais indefinidas:
a)
Use integração por partes para resolver as integrais:
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região plana delimitada pelas curvas e .
Resolva as integrais contendo um trinômio :