Use integração por partes para resolver as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando integração por partes. A matéria que estamos lidando aqui é cálculo, mais especificamente técnicas de integração. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula da integração por partes e saber identificar quais partes da nossa integral vão ser
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será
e qual será
. Geralmente, escolhemos
como a parte que fica mais simples ao diferenciarmos, e
como a parte que conseguimos integrar facilmente.
Passo 3
Vamos definir:
E então,
. Agora, precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Para encontrar
, vamos derivar
em relação a
:
Usando a regra da cadeia, a derivada de
é
. Então:
A derivada de
é:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos integrar
para encontrar
:
Passo 6
Agora que temos
,
,
e
, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Simplificando a integral resultante:
Aqui, a integral ainda parece complicada. Talvez uma substituição adicional possa simplificar. Vamos tentar deixar a expressão mais manejável.
Passo 8
Vamos tentar uma substituição para facilitar. Seja:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 9
Agora, substituímos na integral:
Precisamos expressar
em termos de
. Da substituição anterior:
Passo 10
Substituindo
na integral:
Agora, temos uma integral que podemos resolver por partes novamente.
Passo 11
Vamos resolver
e
separadamente.
Primeiro, para
, usamos integração por partes duas vezes:
Primeira aplicação:
Então:
Segunda aplicação para
:
Então:
Voltando:
Agora, para
Passo 12
Voltando à integral original:
Simplificando:
Passo 13
Agora, substituímos
de volta:
Simplificando dentro dos parênteses:
Então:
Resposta
Portanto, a integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Caleule as integrais indefinidas:
a)
a)
Use integração por partes para resolver as integrais:
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região plana delimitada pelas curvas
e
.
Resolva as integrais contendo um trinômio
: