Resolva as integrais contendo um trinômio a x^2+b x+c : integral (x+5) d xraiz2 x^2+4 x+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com uma integral que envolve um trinômio do segundo grau dentro de uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar uma substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o trinômio 2x^2 +4x +3 = 2(x^2 + 2x) +3 completando o quadrado. Para facilitar, fatoramos o 2:
x^2 + 2x = (x +1)^2 -1
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
2(x^2 + 2x) +3 = 2((x +1)^2 -1) +3 = 2(x +1)^2 -2 +3 = 2(x +1)^2 +1
Substituindo de volta:
integral (x+5) dxraiz2(x +1)^2 +1
Então, a integral fica:

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
u = x +1 Rightarrow du = dx
Além disso, integral (u -1 +5) duraiz2u^2 +1 = integral (u +4) duraiz2u^2 +1 . Substituindo na integral:

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:
integral uraiz2u^2 +1 du + 4 integral 1raiz2u^2 +1 du
Para a primeira integral, fazemos a substituição:
v = 2u^2 +1 Rightarrow dv = 4u du Rightarrow dv4 = u du
Então,
integral uraiz2u^2 +1 du = 14 integral dvraizv = 14 cdot 2raizv + C = 12 raiz2u^2 +1
Para a segunda integral, reconhecemos uma forma padrão:
integral 1raiz2u^2 +1 du = 1raiz2 ln | u raiz2 + raiz2u^2 +1 | + C
Multiplicando por 4:
4 cdot 1raiz2 ln | u raiz2 + raiz2u^2 +1 | = 2raiz2 ln | u raiz2 + raiz2u^2 +1 |

Passo 5

Voltando à variável original 12 raiz2(x +1)^2 +1 + 2raiz2 ln | (x +1)raiz2 + raiz2(x +1)^2 +1 | + C , já que , a solução completa é:

Resposta

A integral resolvida é:
12 raiz2(x +1)^2 +1 + 2raiz2 ln | (x +1)raiz2 + raiz2(x +1)^2 +1 | + C

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