Caleule as integrais indefinidas:
a) integral xe^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse problema faz parte do cálculo de integrais, mais especificamente da técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar identificar partes da expressão que correspondem a e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a visualização:
integral x cdot e^-2x , dx
Aqui, temos um produto entre integral u , dv = u cdot v - integral v , du e , o que sugere que a integração por partes é uma boa estratégia. A fórmula da integração por partes é:

Passo 3

Agora, vamos escolher du = ddx(x) , dx = 1 cdot dx e v = integral e^-2x , dx = e^-2x-2 = -12 e^-2x :
  • Escolha de : Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples ao derivar. Então, vamos escolher .
  • Escolha de : O restante da integral fica como , então .
Em seguida, vamos calcular e :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x cdot e^-2x , dx = x cdot (-12 e^-2x) - integral (-12 e^-2x) cdot 1 , dx
Simplificando:
= -12 x e^-2x + 12 integral e^-2x , dx
Agora, vamos resolver a integral restante:
integral e^-2x , dx = -12 e^-2x + C
Substituindo de volta:
= -12 x e^-2x + 12 (-12 e^-2x) + C
= -12 x e^-2x - 14 e^-2x + C

Resposta

A integral -12 x e^-2x - 14 e^-2x + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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