Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x , de todos os pares ordenados
tais que. Desenhe os sólidos de revolução.
e
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos calcular o volume de um sólido que é formado quando a região definida por
e
gira em torno do eixo
. Esse tipo de problema pertence ao estudo de Cálculo Integral, especificamente ao método de discos ou anéis para encontrar volumes de sólidos de revolução. Para resolver isso, vamos precisar usar integrais definidas e entender como aplicar o método dos discos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que vamos girar. A inequação
nos diz que
está entre
e 2. E
varia de 0 a 4. Se desenharmos isso no plano cartesiano, teremos uma área entre a curva
e a linha horizontal
, de
até
.
Passo 3
Agora, ao girar essa região em torno do eixo
, vamos formar um sólido de revolução. Para encontrar o volume desse sólido, usamos o método dos anéis (ou método das camadas cilíndricas), que é ideal quando temos uma região entre duas curvas girando em torno de um eixo.
A fórmula para o volume usando o método dos anéis é:
onde:
-
é a função externa, -
é a função interna, -
e são os limites de integração.
Passo 4
Identificamos
e
na nossa situação:
- A função externa
é a função de cima, que aqui é . - A função interna
é a função de baixo, que aqui é .
Os limites de integração são de
até
.
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Simplificando as expressões dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Como estamos calculando um volume definido entre
e
, ignoramos a constante
e avaliamos a integral nesses limites:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Então:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.