Calcule o volume do sólido pela rotação em torno do eixo y, de todos os pares ordenados tais que. Desenhe os sólidos de revolução. e
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de cálculo de volume usando métodos de rotação. A gente quer calcular o volume do sólido que forma quando giramos a região definida por e em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de integração para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região que estamos girando. A função é a mesma que . Nosso intervalo para vai de 1 a 4, então para , isso se traduz em indo de até .
Passo 3
Como queremos girar em torno do eixo , vamos expressar em termos de . A função já está nessa forma: . Nosso raio para o método dos discos será , e a espessura do disco será um diferencial de , ou seja, .
Passo 4
A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
onde é o raio do disco em função de , e e são os limites de integração.
Passo 5
No nosso caso, , e . Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a :
Mas como estamos calculando um volume, vamos avaliar de 1 a 2.
Passo 7
Calculando a integral definida:
Passo 8
Multiplicando pelo :
Resposta
O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.