Calcule o volume do sólido pela rotação em torno do eixo y, de todos os pares ordenados (x, y) tais que. Desenhe os sólidos de revolução.
x^2 <= y <= x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume de um sólido que é formado girando uma região em torno do eixo y. A região é definida por todos os pontos (x, y) onde x^2 <= y <= x. Vamos precisar usar cálculo integral, mais especificamente o método dos discos ou anéis, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. A desigualdade x^2 <= y <= x significa que para cada valor de x, y varia de x^2 até x. Para visualizar isso, vamos desenhar os gráficos de (uma parábola) e (uma linha reta). A interseção dessas duas curvas acontece quando , ou seja, , resultando em x = 0 e x = 1.

Passo 3

Agora que sabemos os limites de integração, que vão de x = 0 a x = 1, vamos configurar a integral para o volume. Como estamos girando em torno do eixo y, usamos o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas).

Passo 4

No método dos cilindros, a fórmula para o volume é:
Aqui, f(x) é a função superior ( ) e g(x) é a função inferior ( ). Os limites de integração a e b são 0 e 1, respectivamente.

Passo 5

Vamos substituir as funções e os limites na fórmula:
Simplificando dentro da integral:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:

Passo 7

Multiplicando pelo :

Resposta

O volume do sólido de revolução é pi/6 unidades cúbicas.

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