Calcule o volume do sólido pela rotação em torno do eixo y, de todos os pares ordenados
tais que. Desenhe os sólidos de revolução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume de um sólido que é formado girando uma região em torno do eixo y. A região é definida por todos os pontos
onde
. Vamos precisar usar cálculo integral, mais especificamente o método dos discos ou anéis, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. A desigualdade
significa que para cada valor de x, y varia de
até
. Para visualizar isso, vamos desenhar os gráficos de
(uma parábola) e
(uma linha reta). A interseção dessas duas curvas acontece quando
, ou seja,
, resultando em
e
.
Passo 3
Agora que sabemos os limites de integração, que vão de
a
, vamos configurar a integral para o volume. Como estamos girando em torno do eixo y, usamos o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas).
Passo 4
No método dos cilindros, a fórmula para o volume é:
Aqui,
é a função superior (
) e
é a função inferior (
). Os limites de integração
e
são 0 e 1, respectivamente.
Passo 5
Vamos substituir as funções e os limites na fórmula:
Simplificando dentro da integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 7
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.