Determine, se existir, o valor do limite em cada item. Caso não exista, determine se é +infty ou -infty ou nenhum dos dois (use o símbolo nexists para este último caso).
lim x 2 -x^2+2 xx^2-4 x+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrar o valor de:
lim x 2 -x^2+2 xx^2-4 x+4
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites, especificamente com funções racionais (quociente de polinômios). Para resolver isso, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador e o denominador para ver se conseguimos cancelar algum termo.
Numerador: - x^2 + 2x = -x(x - 2)
Podemos fatorar um x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 :
-x(x - 2)(x - 2)^2
Denominador:
Esse é um trinômio quadrado perfeito, pois:
Então, nossa expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa fração. Observamos que temos um fator -x(x - 2)(x - 2)(x - 2) = -xx - 2 no numerador e no denominador.
Mas atenção! Essa simplificação só é válida para , já que podemos estar dividindo por zero nesse ponto.

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite da expressão simplificada:
lim x 2 -xx - 2
Vamos substituir por valores próximos a 2 e ver o que acontece:
  • Se se aproxima de 2 pela direita (valores maiores que 2), é positivo e muito pequeno, então a fração tende a .
  • Se se aproxima de 2 pela esquerda (valores menores que 2), é negativo e muito pequeno, então a fração tende a .
Como os limites laterais não são iguais, o limite geral não existe.

Resposta

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