Um sólido S é gerado fazendo girar em torno do eixo x a região delimitada pela reta y = 2x + 1 e a curva y = x^2 + 1.
(a) Dado x entre \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 e \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 , a área da seção transversal de S em x, perpendicular ao eixo x, é A(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a área da seção transversal de um sólido que é formado ao girar em torno do eixo a região delimitada pela reta e pela curva . O conteúdo aqui envolve Cálculo Integral, especificamente o cálculo de áreas de seções transversais em sólidos de revolução. Para resolver isso, vamos precisar descobrir primeiro onde essas duas curvas se encontram para definir os limites de e depois aplicar a fórmula da área da seção transversal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a reta e a parábola se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Simplificando:
Assim, temos e . Então, os limites de são de 0 a 2.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da seção transversal em um ponto qualquer entre 0 e 2. Como estamos girando em torno do eixo , a área da seção transversal será a diferença entre as áreas dos círculos formados pelas duas fun��ões.
A fórmula geral para a área de uma seção transversal quando se tem dois raios é:
Aqui, a reta está acima da parábola para entre 0 e 2, então:
  • Raio externo:
  • Raio interno:
Substituindo na fórmula:

Resposta

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